ESPIRAL CUASI-LOGARÍTMICA VARIABLE

[Antonio Briones]

Todos estamos un poco hartos de esas espirales de 3,4 o más centros, poco estéticas y algo "cambembas" o de esas llamadas "áureas" que, aunque más bonitas, ocupan mucho espacio y ninguna variedad. Por supuesto, las mejores son las auténticas espirales logarítmicas; pero su trazado ha de realizarse mediante ordenador, con algoritmos y procesos matemáticos algo complejos. Aquí propongo una sencilla alternativa que se me ha ocurrido usando regla y compás, que imita bastante bien a la logarítmica y que admite multitud de variaciones. No sé si ya se usaba antes.

[ancape]

Antonio
Tu construcción me parece bastante ingeniosa y el resultado es muy parecido a una espiral logarítmica aunque no puede ser logarítmica pues se construye con regla y compás.
La curva resultante es la unión de arcos de círculo y habría que demostrar que en los puntos de unión existe tangente pues caso contrario sólo tendríamos continuidad y la curva sería poco aprovechable. Por ejemplo si diseñamos un circuito de automóviles con ese aspecto, la fuerza centrífuga sería infinita al llegar a un punto de unión de arcos.
Esto no ocurre con la espiral áurea que tiene tangente en los puntos donde empalman los arcos que la contienen.
Te animo a que demuestres que los arcos que construyes empalman con tangente común pues en tal caso la curva obtenida sería fácil de trazar y muy útil.

[JAM_020]

Creo que es perfectamente válida.
Adjunto mi archivo.

[JAM_020]

Si realizamos el trazado según proponía Antonio Briones, mediante las circunferencias definidas por los diámetros, CD, DE, EF... veremos que se obtienen los mismos centros 2, 3, 4,.....
Mi conclusión es la de antes, trazado válido.

[Antonio Briones]

Bueno, demostrar esa doble tangencia (a cada uno de los dos arcos - los pongo azules- que se van acoplando) no es difícil, puesto que los ejes están a 90º, el ángulo elegido en un eje se complementa hasta 90º en el siguiente, y el centro del nuevo arco se forma mediante una mediatriz. Si formamos la circunferencia (llamémosla "w") que une dos puntos medios R y R' consecutivos y el punto de unión C de sus arcos respectivos, veremos que esa circunferencia siempre pasa por el centro O, que R y R' forman un diámetro de w, y que, por tanto, hay ángulo recto en C. Los centros de los arcos B y B' están alineados con C, y la recta que forman esos 3 puntos es la bisectriz del ángulo recto RCR', y es la normal de la tangente común t.

[ancape]