Cuerda de una cónica bisecada por un punto

[ancape]

En el epígrafe homotecias de este foro se ha visto cómo trazar un segmento que se apoya en dos rectas y tiene su punto medio en un punto dado.

Dos rectas son un caso de cónica degenerada. ¿Cómo resolver este problema para cualquier cónica?. Esto es, dada una cónica y un punto P no perteneciente a ella encontrar un segmento AB cuyos extremos se apoyen en la cónica y de forma que P sea su punto medio.

[Seroig]

La circunferencia… trivial.
La parábola… muy simple.
Par las otras dos, el mismo camino es “algo” pesado, con tiempo intento simplificarlo.
Saludos

[Seroig]

Circunferencia:
… la dejamos para los "expertos".
Parábola:
1.- PC paralela al eje.
Y 2.- AB perpendicular a FC


Elipse:
1.- BD perpendicular a AB.
2.- A’E paralela a OP.
Y 3.- KL perpendicular a DE.


Hipérbola: De la misma forma que la elipse.
1.- BD perpendicular a AB.
2.- A’E paralela a OP.
3.- D’ simétrico de D respecto de O.
Y 4.- KL perpendicular a D’E.


Saludos

[Seroig]

El comentario anterior de:
Circunferencia:
… la dejamos para los "expertos".
Es sin ánimo de ofender, únicamente se pretende que los interesados en las soluciones estudien la justificación de la circunferencia y la generalicen a las demás curvas.
La justificación analítica de la circunferencia es generalizable a las demás cónicas, en la parábola a simple vista es fácil, en la elipse e hipérbola parece posible pero aparatosa, pero con atención es fácil ver que puede simplificarse enormemente.
Saludos

[ancape]

Seroig

Magníficas construcciones para los diferentes tipos de cónicas. He probado con Geogebra moviendo el punto dado y se obtiene la cuerda que biseca en todos los casos, pero entiendo a raíz de tu último comentario que todo se basa en la generalización de una construcción para la circunferencia y que ésta se ha hecho analíticamente por lo que es bastante presumible que con trabajo pueda generalizarse a los casos cónicas no circunferencia. Sin embargo los procedimientos gráficos empleados solo utilizan paralelismo y perpendicularidad por lo que creo que debe haber una demostración geométrica que utilice polaridad, proporciones armónicas o similar que justifique estas construcciones.
Te invito a pensar en esto, yo también lo haré.

Saludos

[Seroig]

La solución al caso de la circunferencia es trivial. En el punto, la perpendicular al radio que pasa por él. Por ejemplo, esta justificación analítica es generalizable al resto de cónicas.
Dada la circunferencia de ecuación (1) y el punto (2) de su interior, la recta que contiene el segmento tendrá de ecuación (3). De esta recta desconocemos su pendiente, pero la intersección con la circunferencia determina los puntos (4), tales que P es el punto medio, entonces (5), basta prestar atención a las relaciones resaltadas de rojo.
De la intersección de la circunferencia con la recta deducimos (6)


No es necesario resolver la ecuación, conocido es que la suma de sus soluciones está determinada por los coeficientes resaltados, entonces (7), de donde (8), pendiente de la recta perpendicular al radio, que pasa por el punto P.
De la misma forma para las demás cónicas:
En la parábola (9), la pendiente es (10).
En las otras dos cónicas (11) y punto (12) procediendo de la misma forma resulta (13) para su ”traducción” a regla y compás pasamos a la forma (14) que en los gráficos anteriores de la elipse e hipérbola resultan (15).
Saludos

[ancape]

Esta construcción es mas fácil y es válida para cualquier tipo de cónica, incluso un par de rectas pues éstas son una hipérbola degenerada.

Basta trazar la polar del punto P dado respecto de la cónica. La paralela a ésta y que pasa por ese punto da la solución buscada pues dicha recta corta a la cónica en dos puntos que están en proporción armónica con el punto del infinito de la recta y P.




El problema es que no veo, por ahora, la forma de generalizar la construcción para que el cociente PA/PB sea un número entre 0 y 1 dado como hice con un par de rectas. Creo que el desarrollo analítico que ha expuesto seroig podría hacerlo y traducir éste a construcciones con regla y compás.

Saludos

[Seroig]

El sistema que he expuesto antes evidentemente es generalizable para cualquier razón PA/PB. Pero en esta generalización el problema está en la imposibilidad de evitar el resolver la ecuación de segundo grado. Para el caso de la parábola, al ser las soluciones más “manejables”, nos conduce a una ruta asequible “a mano” que me hace suponer posible una “traducción” a regla y compas.
Las demás cónicas salvo que se me ocurra algún “atajo”, de momento lo veo más complicado.
Saludos

[ancape]

Resulta que no es cierto que exista una cuerda pasando por un punto tal que éste la divida en dos partes de forma que la relación de longitudes sea un número prefijado. Dada cualquier cónica, si elegimos su centro, es claro por simetría, que cualquier cuerda que pase por él, se divide en dos partes iguales.
En el caso de dos rectas que traté en el epígrafe homotecias, no tuve en cuenta el punto de intersección de ambas rectas que no proporciona cuerda alguna y que sería el centro si las dos rectas no formasen una hipérbola degenerada.
En la animación que inserto puede verse que el cociente PA/PB tiene un mínimo que depende de la posición de P.

[Seroig]

Perdón!!
Cuando escribí “cualquier razón PA/PB” suponía que se entendería dentro de sus límites.