Cuerda de una cónica bisecada por un punto

[Seroig]

Ampliando mi anterior comentario.
Soy consciente que, al colaborar en este Foro, por la espontaneidad y rapidez, puedo escribir alguna tontería, no estoy redactando ninguna tesis doctoral. Pero creo que puedo seguir manteniendo lo que escribí en mi anterior comentario, “generalizable para cualquier razón PA/PB”. El sistema analítico “nos avisa” si existe solución o no.
Saludos

[ancape]

Efectivamente, el cociente PA/PB debe estar dentro de los límites que marque la posición del punto P. El problema sería determinar esos límites por adelantado.
Según el desarrollo analítico propuesto por seroig en el caso de la bisección el problema queda resuelto al obtener la expresión de la pendiente de la cuerda solución y que es:

m = -a/b circunferencia
m = a/p parábola

m = +- b²d/a²e Elipse o hipérbola

una vez conocidas estas expresiones, las podemos traducir a métodos gráficos con regla y compás pues las operaciones algebraicas básicas, suma, diferencia, producto pueden reproducirse con estos instrumentos.
Si fuésemos capaces de obtener una fórmula análoga para la pendiente de la cuerda cuando se da una proporción l entre 0 y 1, no sólo seríamos capaces de resolver el problema de trazar la cuerda cuando PA/PB esté dentro de sus límites, sino también obtener éstos simplemente mirando para qué valores de l que la expresión de m perteneciese al campo real, esto es cuando su parte imaginaria fuese no nula.

Parece que el problema está en la obtención de las raíces de una ecuación muy complicada, que en el caso bisección, no es necesario resolver pues tenemos a nuestra disposición la fórmula de la suma de las raíces de una ecuación de 2º grado. Tal vez, con la ayuda de programas como Mathematica o Maple podamos resolver la complicada ecuación.

[Seroig]

Confirmo solución con regla y compás para el caso generalizado de la parábola, cualquier AP/PB.
En el sistema analítico he intentado la solución con Derive, ha fracasado, por lo que he prescindido de otros métodos de ayuda como es WolframAlfa, con algunos trucos he intentado a “mano” y llego a una solución. Con varias modificaciones consigo escribir una expresión traducible a regla y compás.
Olvido “colgar” imagen alguna, dado que es poco brillante, varias medias geométricas, unos cuantos Pitágoras y otros tantos Tales. Muy pesado.
Visto lo visto creo que dejo las demás cónicas.
Saludos

[Seroig]

PA / PB = a / b

1.- DE, diámetro por P
2.- FG, perpendicular al diámetro por P
3.- Sobre FG partiendo de P colocamos “a”
4.- Sobre DE partiendo de P colocamos “b”
5.- Por D paralela a la recta que une los extremos de “a” y “b”
6.- PG = PE
7.- PH media geométrica de PF y PG
8.- PH = PA
Saludos

[ancape]

Seroig, la construcción me parece genial. La he repetido con Geogebra y funciona tanto si muevo el punto P como si cambio el parámetro PA/PB. Sólo me haría falta saber cómo se te ha ocurrido y que des una demostración.

Una vez determinada la cuerda para una circunferencia, he pensado que podría ampliarse el resultado a cualquier cónica teniendo en cuenta que con una homología apropiada podemos convertir la cónica dada en una circunferencia y trabajar en ésta con el homólogo del punto dado.


Observa que si AB y A'B' son paralelas, los triángulos CH A B y CH A' B' son semejantes.

Saludos

[Seroig]

El método es fácil, pero por las particularidades de la circunferencia, no aplicable a las demás cónicas.


Por teorema del cateto estudiamos los triángulos ACP y BCP, siendo las incógnitas “k” y cosA = cosB, del sistema fácilmente llegamos a “k”, por consiguiente “ka”, que reescribo para aplicar regla y compás.
Saludos

[ancape]

Una vez hecha la construcción para una circunferencia lo podemos generalizar para una elipse de la siguiente forma:

Damos una elipse, un punto P encerrado por ella y un número l entre 0 y 1 (marcados en azul intenso en el dibujo). Trazamos la circunferencia con diámetro eje mayor de la elipse de la cual dicha elipse se obtiene por afinidad. (marcada en azul claro en el dibujo). Obtenemos el punto P' afín de P. Trazamos la cuerda por P' en la proporción l. La cuerda afín de ésta es la solución del problema.


(Observar los triángulos AA'M y BB'M)

¡¡Ya sólo queda la hipérbola!!

Saludos

[Antonio Briones]

Aporto mi solución.