Maximizar una diferencia de distancias

[adelarosa983]

Gracias por anticipado por vuestra atención
Se me plantea el siguiente problema:
Dados dos puntos A,B en el espacio y una recta MN que no pasa por ellos (se cruza con la recta AB) hallar el punto P sobre MN tal que PA-PB sea máximo.
Sospecho que P es el punto donde se cruzan las rectas pero no sé por qué. ¿Está mal pensado?
Gracias

[Seroig]

Yo lo veo así:
Considero que el punto “P” de la recta “MN” ha de ser el punto de tangencia de esta recta con un hiperboloide de revolución de focos “A” y “B”, y “2a” tal que sean tangentes.
Por reducción al absurdo, si las rectas se cortan, su punto de “cruce” no coincide con el punto de tangencia, salvo que “AB” y “MN” sean perpendiculares… creo.
Saludos

[adelarosa983]

Muchas gracias

[Manuel Mira Cantos]

Hola.
Adjunto, en mi opinión, el método de solución después de analizarlo.

Sea r la recta que une los puntos M y N
Sea α el plano (A,r)
Sea β el plano (B,r)

1º) Por el punto B trazar una recta perpendicular a la recta r que la cortará en el punto 1.
2º) Por el punto 1 trazar una recta t perpendicular a la recta r y que pertenezca al plano α
3º) Sobre dicha recta t, y a partir del punto 1, llevar la distancia B1, obteniendo el punto B'.
4º) Unir A con B' que cortará a la recta r en el punto P solicitado.

He seguido el mismo esquema que se hace en geometría plana. que está dibujado abajo, pero aplicado al espacio y que hay que llevar al diédrico.

Maximizar_una_diferencia_de_distancias-a.jpg (20.52 KiB) Visto 878 veces

Dados los puntos A y B, y dada la recta r, hallar el punto P perteneciente a la recta r tal que la diferencia de segmentos PA - PB sea máxima.

Maximizar_una_diferencia_de_distancias-b.jpg (42.15 KiB) Visto 878 veces

1º) Hallar el punto B', simétrico del punto B con respecto a la recta r.
2º) La recta AB' corta a la recta r en el punto P solicitado.


Un saludo.
Manuel Mira Cantos.

[Seroig]

Efectivamente, “P” es el punto de tangencia de la recta ”r” con la hipérbola de focos “A” y “B” y 2a = AB’
Saludos

[Seroig]

Si “A” y “B” no estuviesen separados por “r”, para "suma mínima” de distancias, es la misma construcción y es el punto de tangencia de la elipse.
Saludos

[Manuel Mira Cantos]

Efectivamente Seroig, se está aplicando la definición de la hipérbola para la diferencia máxima y de la elipse para la suma mínima, simplificando geométricamente la solución mediante simetrías axiales.
Un saludo.