CUADRILÁTERO "COMPLICADILLO"

[from0000]

Buenas tardes, llevo varios dias intentando resolver este ejercicio. Dibujar un cuadrilátero ABCD, conociendo el valor de dos ángulos opuestos, que sus diagonales son perpendiculares y los valores de las medidas de los segmentos desde el punto de corte de las diagonales a sus vértices. Ver figura adjunta.
Agradecería vuestra ayuda. Lo he intentado por varios procedimientos: inversión, lugares y transformaciones geométricas, ... y no he sido capaz.

EJERCICIO CUADRILÁTERO.png (12.35 KiB) Visto 1151 veces

Un cordial saludo y gracias de antemano
Fernando Román Martín

[Seroig]

Perdona, pero no veo claro el enunciado.
Dice conociendo los valores de los ÀNGULOS, pero no veo el valor de uno de ellos. Si se conocen los DOS ángulos puede que no sea posible que se cumplan otras condiciones.
Saludos

[from0000]

Buenas tardes Seroig. La cuestión es que conocemos ambos ángulos (el problema tiene mucha relación con el que acabas de ayudarme de la elipse. Sería para resolverlo por afinidad).
Uno de los ángulos es de 90 º y el otro es un ángulo determinado (el que sea). El problema matemáticamente tiene solución.
Imagínate que conocemos el valor de los segmentos PD y PB situados sobre una recta "dibujada en el suelo". Queremos apoyar en B y D sendas rectas (dos "paredes") que formen unos ángulos determinados y conocidos (uno de 90º y el otro de 65º - por ejemplo-) , de manera que al apoyarlas en esos puntos B y D (iríamos girándolas) hasta que coincidan esas"paredes" en los puntos A y C (desconocidos), respectivamente situados sobre una perpendicular a BD que pase por P. Se trataría de obtener los puntos A y C .Los arcos capaces de dichos ángulos sobre AC pasarían por B y D respectivamente.
Muchas gracias por tu ayuda y un cordial saludo
Fernando Román

[Seroig]

Si se conocen los dos ángulos opuestos, considero que no es posible que otro dato sea PB y PD, ha de ser el valor total de la diagonal, BD.
El problema tiene fácil solución, trazamos las dos circunferencias para su arco capaz y luego trasladamos verticalmente una de ellas el valor BD, la intersección de una con la otra trasladada nos posiciona el vértice.
Saludos

[from0000]

Buenas noches Seroig.
En tu respuesta indicas que "trazamos las dos circunferencias para su arco capaz" ¿sobre qué segmento? No conocemos el valor de AC, ni los puntos A y C. Tampoco conocemos el valor de los ángulos opuestos a la diagonal BD. Por lo tanto, ¿a qué circunferencias te refieres?
Si solamente conocemos la diagonal BD, ¿Cómo encontramos la recta en la que se situan los puntos A y C?
Disculpa, pero no me queda claro el procedimiento. Habrá que seguir indagando un poco. Insisto: matemáticamente el ejercicio tiene solución.
Un cordial saludo
Fernando Román

[Seroig]

Perdona, tienes razón, he confundido la diagonal AC por BD, lo intentaré cuando tenga un momento.
Saludos

[Seroig]

La diagonal AC es fácilmente deducible analíticamente, salvo error u omisión, y traducible a regla y compás. Cuando tenga un poco de tiempo lo intentaré.
Saludos.

[from0000]

Buenas tardes. Estoy "dándole vueltas " (nunca mejor dicho) al problema. Seguro que es muy sencillo y probablemente con algún giro alrededor de P (sumando o restando los ángulos) alguna traslación y/o simetría.... podemos dar con la solución .Seguiremos en ello.
Saludos
Fernando Román Martín

[Seroig]

Espero que “sacándole un poco de punta” podrás aprovechar algo.
“Tirando de analítica”, AC=(m^2-n^2)tagB/n, m=PD, n=PB. Trascribiendo con regla y compas:

Caudrilátero.jpg (25.91 KiB) Visto 1073 veces

De negro, Pitágoras.
De rojo, teorema de altura.
Y de verde, aplicación de la tag del ángulo B; solución
Saludos

[JAM_020]

Algo no me cuadra.
Si B=90º ; tagB=infinito
AC=(m^2-n^2)tagB/n.
AC= ??