Problema relacionado con distancias y ángulos

[jorgetrazoide]

Saludos

Desde hace algún tiempo he estado tratando de resolver este ejercicio:
Dadas las rectas AB y CD (no secantes ni paralelas), hallar las proyecciones diédricas de una recta EF que corte a las rectas dadas, tenga la menor longitud posible, y forme un ángulo ALPHA conocido con el Plano Horizontal de proyección.
Imagino que la clave está en los cambios de plano, pero aún no logro conseguirlo.

Gracias

Jorge

[Manuel Mira Cantos]

Hola Jorge.
Yo lo que haría es hallar la mínima distancia entre las dos rectas, hallando los dos puntos más cercanos, que unidos es la recta perpendicular común a las rectas dadas, y mínima distancia entre dos rectas que se cruzan.
El punto de mayor cota haces que sea el vértice de un cono de revolución de eje vertical, punto E.
Trazas el cono que forme el ángulo dado con el P.H.P.
Hallas la intersección de la otra recta con dicho cono, obteniendo dos puntos.
Elegir el que tenga menor distancia con el vértice del cono, punto F.
La solución sería unir dicho punto de intersección con el vértice del cono, segmento E-F.
No hace falta hacer cambios de plano.
Espero que sea correcto el proceso, si no es así aprenderé.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.

[Manuel Mira Cantos]

Mi respuesta anterior, después de pensarla, no creo que sea adecuada.
Me han entrado dudas.
Otra idea que me ha venido es:
Donde se cruzan las rectas en proyección horizontal define una recta vertical que corta a las dos rectas dadas.
El punto de mayor cota lo nombramos como E.
Con vértice en E trazamos el cono de revolución de eje vertical y ángulo conocido con el P.H.P.
Hallar la intersección de la otra recta con el cono, tomando como punto F el que diste menos del punto E.

[Manuel Mira Cantos]

Tampoco es correcto.
Lo siento.
Seguiré pensando.

[Manuel Mira Cantos]

A ver si a la tercera va la buena.
Sea la recta r = A-B.
Sea la recta s = C-D.
Por un punto cualquiera P de la recta r se traza una recta t paralela a la recta s.
De esta forma las rectas r y t forman un plano, plano Beta, y la recta s queda paralela a dicho plano.
Hacemos un primer cambio de plano vertical colocando la nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano Beta, o a una horizontal de dicho plano.
De esta manera el plano Beta, con las rectas r y t, queda proyectante vertical y las proyecciones verticales de las rectas r y s quedan paralelas.
Aquí el ángulo Alfa no ha sufrido variación.
Ahora hacemos un segundo cambio de plano, en este caso horizontal, colocando una nueva línea de tierra perpendicular al ángulo Alfa dado.
De esta manera la proyección horizontal quedará en posición ortogonal para ver la nueva proyección horizontal de las rectas r y s.
Las nuevas proyecciones horizontales de las rectas r y s se cortan en un punto doble, E y F.
Hallamos la proyección vertical de dichos puntos E y F.
Deshacemos ordenadamente los cambios de plano quedando la solución buscada en la proyección original.
Comprobamos que forma el ángulo Alfa con el P.H.P. (abatimiento por método triangulito o un cambio de plano para ver E-F en posición frontal).
Me gusta este ejercicio.
Cuando tenga tiempo lo resuelvo en papel para comprobar que es el proceso correcto.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.

[Manuel Mira Cantos]

Adjunto imagen.

[Manuel Mira Cantos]

En el ejercicio que he adjuntado anteriormente no es correcto del todo, la mínima distancia se da con el ángulo hacia el otro lado.
Adjunto la nueva solución.
Lo he comprobado con otro método, insertando, en el primer cambio de plano, un cono con vértice en un punto cualquiera de la recta r, que es el plano de mayor cota, y cuya generatriz de contorno de menor dimensión intersecta al otro plano paralelo en un punto, que devuelto a proyecciones originales y trasladado sobre las rectas dadas obtengo la misma solución.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.

[fernandore]

A ver si a la tercera va la buena.
Sea la recta r = A-B.
Sea la recta s = C-D.
Por un punto cualquiera P de la recta r se traza una recta t paralela a la recta s.
De esta forma las rectas r y t forman un plano, plano Beta, y la recta s queda paralela a dicho plano.
Hacemos un primer cambio de plano vertical colocando la nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano Beta, o a una horizontal de dicho plano.
De esta manera el plano Beta, con las rectas r y t, queda proyectante vertical y las proyecciones verticales de las rectas r y s quedan paralelas.
Aquí el ángulo Alfa no ha sufrido variación.
Ahora hacemos un segundo cambio de plano, en este caso horizontal, colocando una nueva línea de tierra perpendicular al ángulo Alfa dado.
De esta manera la proyección horizontal quedará en posición ortogonal para ver la nueva proyección horizontal de las rectas r y s.
Las nuevas proyecciones horizontales de las rectas r y s se cortan en un punto doble, E y F.
Hallamos la proyección vertical de dichos puntos E y F.
Deshacemos ordenadamente los cambios de plano quedando la solución buscada en la proyección original.
Comprobamos que forma el ángulo Alfa con el P.H.P. (abatimiento por método triangulito o un cambio de plano para ver E-F en posición frontal).
Me gusta este ejercicio.
Cuando tenga tiempo lo resuelvo en papel para comprobar que es el proceso correcto.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.

Pero como te aseguras q no existe otra recta con menor distancia?
Digamos q el lugar geometrico q se genera con rectas q se apoyan en las dos y mantienen un cierto angulo con otro plano es un hiperbolice concoideo.
Como nos aseguramos q de las infinitas rectas q componen esta superficie, hemos elegido la generatriz mas corta?

Salu2

[Manuel Mira Cantos]

Un saludo fernandore.
Después he puesto en este foro otra respuesta que considero la correcta.
He comprobado que solo hay una recta que cumple las condiciones del ejercicio.
En casa he resuelto el ejercicio de una segunda manera que no he adjuntado por su ser más compleja.
La explicación que propongo es la siguiente, siguiendo el modelo clásico de resolución de mínima distancia entre dos rectas que se cruzan.
1.- Por un punto cualquiera P de la recta r se traza una recta t paralela a la recta s. De esta forma las rectas r y t forman un plano,
plano Beta, y la recta s queda paralela a dicho plano.
2.- Podemos trazar un segundo plano, Gamma, paralelo al anterior y que contenga a la recta s.
De esta manera tenemos dos planos paralelos, uno que contiene a la recta r y otro a la recta s.
3.- Por un punto de cualquiera de una de las rectas, el punto V de la recta r por ejemplo, podemos trazar un cono con las condiciones del enunciado.
En el cambio de plano vertical tenemos los dos planos paralelos proyectantes verticales y un cono de revolución de eje vertical.
4.- El cono queda seccionado por el plano Gamma y observamos las generatrices de contorno aparente, la de menor longitud es la mínima distancia solicitada, que no la tenemos en posición.
Recordar que dichas generatrices nos están definiendo el eje menor de la elipse que produce la sección, que no hace falta dibujarla.
5.- Dicha generatriz de menor longitud secciona al plano en un punto, llamémosle M.
6.- Ahora tenemos la distancia V-M, donde el punto V está sobre la recta r pero el punto M no está sobre la recta s.
7.- Si trasladamos el punto M paralelamente a la recta r hasta que corte a la recta s, obtendremos el punto F solicitado en la recta s.
8.- El punto E lo obtendremos sobre la recta r trazando paralela a V-M.
Vuelvo a adjuntar en PDF el ejercicio resuelto con dos cambios de plano.
Un saludo.
Manuel Mira Cantos.

[Manuel Mira Cantos]

Quería decir "eje mayor de la elipse"