Encajar un rectángulo dado en tres rectas dadas

[Manuel Mira Cantos]

Hola.
Me he atascado en este ejercicio.
Dadas tres rectas r, s y t, dibuja un rectángulo de proporción áurea, cuyo lado mayor mide 4 cm y tenga un vértice en cada recta.
No he conseguido encajar el rectángulo en las tres rectas.
Solicito ayuda.
Gracias.
Manuel

[Manuel Mira Cantos]

Entiendo la solución en el caso de que dos rectas sean paralelas y una tercera sea secante, por traslación.
También entiendo la solución en el caso que las tres rectas converjan en un punto, por arcos capaces.
Pero se me escapa como solucionar en el caso que las tres rectas no tengan condición alguna.
Adjunto situación de las rectas y tanteos.
Gracias por anticipado.

[Seroig]

En el primer gráfico las tres rectas dadas y encajado en ellas un rectángulo áureo también dado. De rojo, un segmento a determinar, representativo de la distancia del vértice “D” a la recta “c”.

Áureo.jpg (97.7 KiB) Visto 2009 veces

En el segundo, sobre el rectángulo áureo construcción de los segmentos auxiliares; con el triángulo rectángulo “EFI” de ángulo igual al ángulo “C” obtenemos el segmento “h”, con el triángulo “DEJ” de ángulo “B” el segmento “i” y con el triángulo “IJK” de hipotenusa la hipotenusa del triángulo “GIJ” y lado el lado “a” del triángulo del enunciado conseguimos el segmento “j”.
En los siguientes, respecto al lado mayor del rectángulo, por proporcionalidad, obtenemos, “ai”, “hj”, “h^2”, “i^2” y finalmente “Distancia”.
Saludos

[Seroig]

En el adjunto, la justificación analítica de la construcción anteriormente expuesta.

Encajar_rectangulo_en_tres rectas-4.jpg (49.81 KiB) Visto 1951 veces

Encajar_rectangulo_en_tres rectas-5.jpg (44.79 KiB) Visto 1864 veces

SAludos

[Seroig]

Una pequeña corrección del pdf, en
Distancia =1/2 (raíz(5)-1)sinx
me he comido la “d”, debe ser
Distancia =1/2 (raíz(5)-1)d*sinx

[Seroig]

Gracias Antonio

[Manuel Mira Cantos]

Muchas gracias Seroig.
He aprendido mucho, no me había planteado la combinación del álgebra, la trigonometría y el dibujo técnico para solucionar estos problemas complejos.
Un saludo

[Manuel Mira Cantos]

Hola de nuevo Seroig.
He analizado y resuelto de nuevo el ejercicio, en base a tus indicaciones, sin las cuales no hubiese podido hacerlo.
Voy a adjuntar el ejercicio resuelto y el análisis matemático.
He de indicar que donde pone sin(B+x) yo he puesto sin(B-x).
Todos los parámetros: h, i, j, k, l, m y n, son tal como tu indicas.
Pero, principalmente, he cambiado la posición de la Distancia final, ya que por trigonometría pienso que ha de estar donde yo la he puesto, cambiando pues la resolución final por Thales para resolver tal distancia.
Adjunto ejercicio y análisis.
Recibe un cordial saludo.

[Seroig]

Excelente trabajo.
B+x ó B-x, según tomes el ángulo B, suplementario uno del otro.
En este caso hemos trabajado con un rectángulo cuyas rectas hacían que el rectángulo fuera exterior al triángulo, variando parámetros es posible que el rectángulo sea interior. Y apurando, puede darse el caso de que existan ambas soluciones, interior y exterior.
Te lo comento por si te animas a comprobar si el doble signo de la raíz te da las dos soluciones. No lo he comprobado, solo lo sospecho.
Saludos

[Manuel Mira Cantos]

Gracias Seroig.
He comprobado, como dices, una segunda solución, también exterior, con la otra solución:
Distancia = e (k - l) / (m + n)
En el dibujo aparece en azul.
Pensaba que sólo había una solución, ya que conforme iba dibujando también usaba la calculadora para calcular y ver que coincidían los parámetros.
Pero, efectivamente existe una segunda solución.
Bravo.