Teoría sobre los polígonos estrellados

[pilarltelenti]

Hola buenas noches y Feliz 2024 a todos,
repasando este tema, me encuentro varias definiciones diferentes de paso y especie en los polígonos estrellados. De paso me quedo con la de; Es el número de divisiones de la circunferencia (o de vértices del convexo) que abarca el lado. Sería, sumándole uno, el número de vértices del convexo que te “saltas” para construir el estrellado.
De especie me enciuentro una definición que le hace coincidir siempre con el paso: ": Es el número de vueltas que debemos dar antes de completar la figura, en base al paso que tiene". Para luego ver :"El paso y la especie coinciden en general, excepto en el caso en el que no se utilicen todos los vértices del polígono regular asociado para formar el polígono regular estrellado." ¿Es eso posible?
Luego me encuentro esta otra, que intuyo pero que no me parece que esté bien descrito : "En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc....Entiendo que "de dos en dos" es unir 1,3,5,6... Y en este caso hay especie 1 nunca coincidente con paso 1 que no existe.
¿Qué es lo correcto?
Pero lo que no acabo de ver es lo de la "fórmula" para determinar el número de polígonos regulares posibles que se pueden hacer de un convexo. Algunos utilizan los números primos para ello:"El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo es el número de cifras primas con él menores de su mitad."¿Primas con él?¿No será no divisoras de él?.Había oido hablar de números primos entre sí, no con
De otra parte, hay quien lo hace así : "Se denotan por N/M siendo N el número de vértices = N del regular convexo y M el salto entre vértices, conocido como paso.
N/M ha de ser fracción irreducible, de lo contrario no se genera el polígono estrellado que indica la fracción. Para encontrar todos los polígonos regulares estrellados que se generan de un regular de N lados, basta con considerar M entero entre 2 y (N/2) con la condición de que la fracción que le denota sea irreducible." ¿es mejor esta?
Muchas gracias, menudo rollo

[Manuel Mira Cantos]

Te pongo un ejemplo, el eneágono.
Género: 9 (son 9 los lados del polígono).
Dividimos 9/2 = 4,5.
Cogemos los números enteros menores que 4,5 = 1, 2, 3 y 4.
Vemos que el 2 y el 4 son los primos del 9, ya que al hacer la división del 9 con ellos nos dan decimales.
Luego tenemos 2 polígonos estrellados (hay dos números primos del 9).
Un polígono estrellado de paso 2 (número de la circunferencia que abarca el lado) y especie 1a (2-1=1 número de vueltas que debemos dar antes de completar la figura).
Y el otro polígono estrellado es de paso 4 y especie 3a.

Está regla no se cumple en el decágono, ya que tendríamos 2 polígonos estrellados, uno de paso 3 y especie 2a, y otro de paso 4 y especie 3a.
Este último no se cumple, ya que formas un pentáculo y no pasa por todos los vértices.

[Manuel Mira Cantos]

Una aclaración a mi respuesta anterior.
Se entiende por paso el número de divisiones de la circunferencia que abarca el lado.
Y en el decágono la fracción 10/4 no forma polígono estrellado porque es reducible. Que es otra de las condiciones de la norma. Luego no es una excepción.

[pilarltelenti]

Muchas gracias, entonces la definición de paso era la que yo pensaba, la de especie también pero no me queda nada claro en el ejemplo expuesto. Si la especie es número de vueltas que debemos dar antes de completar la figura, ¿porqué esta resta 2-1=1?. Entiendo que la clave aquí está en la palabra "antes".
Intento escribir una frase para saber el número de polígonos estrellados regulares que puedo obtener de su homólogo convexo. Sería:"Un polígono regular de n lados tiene tantos polígonos estrellados como números, menores a n/2, primos entre sí con respecto a n". Si hago así no necesito considerar al decágono una excepción ¿no?
Es que no acabo de dar con una única frase que reuna los requisitos necesarios.

[Manuel Mira Cantos]

Sea N el número de vértices.
Sea M el paso o salto entre vértices.
M ha de ser menor que N/2.
N/M ha de ser irreducible.
Ejemplo:
N=16

16/2=8 luego pueden ser del 1 al 7.
Cumplen la condición de ser irreducibles el 3, 5 y 7.
Luego hay tres polígonos estrellados de 16 puntas.
Uno de paso 3 y 2a especie.
Uno de paso 5 y 4a especie.
Uno de paso 7 y 6a especie.

Todos cumplen la regla, el de 10 también.

En la definición de especie la clave está en la palabra "antes" de completar la figura.
1a especie si se unen los vértices de dos en dos, paso 2.
2a especie si se unen los vértices de tres en tres, paso 3.
Etc.
Por eso especie = paso - 1.

[Manuel Mira Cantos]

Por eso el hexágono no tiene polígono estrellado.
N=6
No existe valor de M que cumpla la norma.
La estrella de David no es un polígono estrellado, son dos triángulos equiláteros entrelazados.

[pilarltelenti]

Vale gracias, creo que esta forma válida, es menos enrevesada, requiere menos conocimientos de matemáticas.(acordarse de los primos y tal)
La otra cosa es lo dela especie. La verdad que sigue sin convencerme lo de "de dos en dos y de tres en tres", no es nada preciso y admite interpretación. Si em ayuda lo de la palabra "antes" como clave en su definición, Gracias