Sección a esfera + cono

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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Jorgito
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Sección a esfera + cono

Mensaje: #8138 Jorgito
Jue, 17 Dic 2009, 18:57

Sección a esfera + cono
Espero que puedan resolverlo, gracias.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #8146 Antonio Castilla
Vie, 18 Dic 2009, 12:28

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Este es un problema muy completo y por tanto largo. Te lo solucionaré poco a poco, pero con todos los pasos para que sirva de referencia a otros problemas. Por lo tanto paciencia.

La nomenclatura la cambiaré un poco para que me sea más fácil de escribir.
A las proyecciones horizontales las designaré con una letra, por ejemplo a. A las proyecciones verticales les pondré la misma letra y un apóstrofo, por ejemplo a'. A los planos los llamaré P y Q. Las proyecciones en los cambios de plano tendrán un número para indicar el primer cambio de plano, segundo etc., por ejemplo a1'.

Los métodos que expondré serán uno de los muchos posibles, por lo que cualquier otra forma es igualmente válida.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #8147 Antonio Castilla
Vie, 18 Dic 2009, 13:26

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Sección de una esfera de centro O por un plano oblicuo P.

Determinación de los ejes principales (mayor y menor) de la elipse proyección de la sección, mediante cambios de plano

1 - Realizar un cambio de plano donde la segunda línea de tierra, LT-2, es perpendicular a la traza horizontal, p, del plano.


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2 - Cambiar de plano la esfera. Mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra y llevando la cota del centro, O', se obtiene el centro de la esfera en el cambio de plano, O1'. Con el mismo radio de la esfera (en verdadera magnitud) se dibuja la esfera cambiada.

3 - Cambiar el plano. Tomar un punto cualquiera, X, que tenga sus proyecciones sobre la traza vertical del plano, p', y en la línea de tierra. Trazar una perpendicular a la segunda línea de tierra, LT-2, por su proyección horizontal, x, y llevar la medida de la cota de la proyección vertical, obteniendo el punto cambiado, x1'. Unir con donde corta la traza horizontal del plano, p, a la segunda línea de tierra, LT-2, y este es el plano cambiado (proyectante), p1'.

4 - Eje menor de la elipse en proyección horizontal (ver la siguiente imagen). Llevar los puntos donde el plano en el cambio de plano, p1', toca a la esfera, a1' y b1', mediante perpendiculares a la segunda línea de tierra, hasta una perpendicular a la traza horizontal del plano, p, que pase por el centro de la esfera, O. Las nuevas proyecciones, a y b, son el eje menor de la elipse de la proyección horizontal.


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5 - Eje mayor de la elipse en proyección horizontal. Tomar la medida, Z, en el cambio de plano, que hay entre los puntos de corte de la esfera con el plano, a1'-b1'. Llevar esta medida a una paralela a la traza horizontal del plano, p, que pase por el punto medio, c, del eje menor de la elipse,a-b (cuidado, NO es por el centro de la esfera). Este segmento, l-m, es el eje mayor de la elipse.

6 - Ejes en la proyección vertical (ver la siguiente imagen). Se sigue el mismo proceso, pero con la tercera línea de tierra, LT-3, perpendicular a la traza vertical del plano, p'. El eje menor es H-I y el mayor J-K. Los puntos de los ejes en ambas proyecciones NO son los mismos, por lo que no hay correspondencia entre ellos. Si se halla la otra proyección de cada punto lo que se obtiene es un punto de la elipse, pero no los ejes.


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Mensaje: #8157 Antonio Castilla
Sab, 19 Dic 2009, 12:51

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Determinación de los puntos de la elipse, proyección de la sección de un plano a una esfera.

7 - Puntos por afinidad doble. Conocidos ya los ejes de la elipse se trazan dos circunferencias de centro el mismo de la elipse y diámetros los de los ejes de la elipse. Se dibuja un diámetro cualquiera que cortará a las circunferencias en 1, 2, 3 y 4. Por estos puntos se trazan paralelas a los ejes de la elipse. Donde se corten ambas paralelas son puntos de la elipse, n y u. Repetir con otros diámetros para hallar mas puntos.


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8 - Puntos desde el cambio de plano. Se dibuja una paralela a la segunda línea de tierra, LT-2, en cualquier sitio o donde se desee determinar un punto. Esta paralela cortará al plano en los puntos coincidentes f1' y g1'. Medir sobre la paralela a la segunda línea de tierra la distancia entre los puntos donde corta a la esfera, medida W. Con esa distancia como diámetro y centro el de la esfera en proyección horizontal se dibuja una circunferencia. Mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra se llevan los puntos f1' y g1' hasta la circunferencia. Estos puntos, f y g, son dos puntos de la elipse. Repetir con otras paralelas a la segunda línea de tierra para hallar mas puntos.


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9 - Puntos mediante rectas horizontales o frontales. Por cualquier punto ya obtenido, por ejemplo el punto l del eje mayor en proyección horizontal, se dibuja una recta horizontal (o frontal), S. Subir el punto hasta la proyección vertical de la recta, l. Una vez obtenido un punto se pueden determinar tres mas, l1', l2' y l3', por simetria respecto del centro de la elipse o simetría respecto de los ejes de la elipse.


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10 - Puntos mediante abatimiento. Se abate el centro de la elipse y con diámetro el eje mayor de la elipse se dibuja una circunferencia en el abatimiento. Se desabaten los puntos de la circunferencia que en proyección horizontal son los puntos de la elipse.


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Mensaje: #8163 Antonio Castilla
Dom, 20 Dic 2009, 00:11

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Determinación de los puntos de contacto de la elipse con el contorno de la esfera

11 - En el cambio de plano trazar una paralela, r1', a la segunda línea de tierra, LT-2, pasando por el centro de la esfera, O1'.

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12 - Por donde corte al plano, d1' y e1', dibujar una perpendicular a la segunda línea de tierra hasta cortar al contorno de la proyección horizontal de la esfera. Estos puntos, e y d son los puntos de contacto de la elipse con la circunferencia que representa a la esfera.

13 - Los puntos de contacto de la proyección horizontal NO son los mismos en la proyección vertical. Por lo tanto, se debe de seguir el mismo procedimiento pero con el cambio de plano (horiozntal) cuya línea de tierra es perpendicular a la traza vertical del plano, LT-3.

Determinación de la visibilidad de la elipse sección de la esfera

14 - Por el centro de la esfera, O, en ambas proyecciones, se dibujan paralelas a la línea de tierra.


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15 - La elipse pasa de vista a oculta a través de los puntos de contacto con la esfera, e y d en proyección horizontal y 5' y 6' en proyección vertical.

16 - Visibilidad de la proyección horizontal. Todo lo que este en la proyección vertical por encima de la paralela a la línea de tierra que pasa por el centro de la esfera es visto en la proyección horizontal. Así vemos que el punto l1' esta por encima, luego la parte de la elipse que pasa por l1 en proyección horizontal será visto hasta que toque al contorno, e-d. El punto l2' esta por debajo luego en proyección horizontal la curva que pasa por l2 es oculta hasta tocar al contorno, e-d.

17 - Visibilidad de la proyección vertical. Todo lo que este en la proyección horizontal por debajo de la paralela a la línea de tierra que pasa por el centro de la esfera es visto en la proyección vertical. Así vemos que el punto l2 esta por debajo, luego la parte de la elipse que pasa por l2' en proyección vertical será visto hasta que toque al contorno, 5'-6'. El punto l1 esta por encima luego en proyección vertical la curva que pasa por l1' es oculta hasta tocar al contorno, 5'-6'.

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Mensaje: #8174 Antonio Castilla
Dom, 20 Dic 2009, 22:41

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Determinación de las PROYECCIONES DE LA ALTURA DE UN CUERPO (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, H, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, P. MEDIANTE DIFERENCIA DE COTA o ABATIMIENTO

18 - Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.


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19 - Sobre la perpendicular elegir un punto cualquiera, 7.

20 - En la proyección vertical, trazar una paralela a la línea de tierra desde donde parte la altura, C, y determinar la diferencia de cotas, Z2, hasta el punto 7.

21 - En la proyección horizontal trazar una paralela a la traza horizontal del plano por 7 y sobre ella llevar la diferencia de cota Z2.

22 - Unir la medida Z2 con la proyección horizontal de C y sobre ella medir la altura, H, en verdadera magnitud.

23 - Desde ese punto dibujar una paralela a la traza del plano hasta cortar a C-7. La distancia C-V es la proyección horizontal de la altura del cuerpo.

24 - Llevar el extremo, V, hasta la proyección vertical de C-7.

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Mensaje: #8175 Antonio Castilla
Dom, 20 Dic 2009, 22:55

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Determinación de las PROYECCIONES DE LA ALTURA DE UN CUERPO (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, H, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, P. MEDIANTE GIRO

25 - Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.


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26 - Sobre la perpendicular elegir un punto cualquiera, 8.

27 - En la proyección horizontal trazar una paralela a la línea de tierra por el punto del que parte la altura, C.

28 - Con centro en el punto del que parte la altura, C, y radio hasta el punto elegido, 8, trazar un arco hasta tocar a la paralela a la línea de tierra, 9.

29 - En la proyección vertical dibujar una paralela a la línea de tierra desde el punto 8' y subir desde la proyección horizontal de 9 hasta cortar a esa paralela, 9'.

30 - Unir este punto, 9', con el punto del que parte la altura, C', y sobre ella llevar la verdadera magnitud de la altura, H.

31 - Por su extremo trazar una paralela a la línea de tierra hasta cortar a la perpendicular inicial, C'-8'. La distancia entre este punto V' y el punto del que parte la altura, C', es la proyección vertical de la altura del cuerpo.

32 - Llevar ese punto a la proyección horizontal de la altura, C-8, y tenemos la proyección horizontal de la altura, C-V.

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Mensaje: #8176 Antonio Castilla
Dom, 20 Dic 2009, 23:19

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Determinación de las PROYECCIONES DE LA ALTURA DE UN CUERPO (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, H, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, P. MEDIANTE CAMBIO DE PLANO DE UNA RECTA

33 - Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.


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34 - Sobre la perpendicular elegir un punto cualquiera, 11.

35 - Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra, LT-2, paralela a la proyección horizontal de la recta, C-11.

36 - Cambiar de plano los puntos de la recta, c1'-11'.

37 - Sobre esa recta, en el cambio de plano, se lleva la verdadera magnitud de la altura del cuerpo, H.

38 - Llevar su extremo, V1', hasta la proyección horizontal de C-11. El segmento C-V es la proyección horizontal de la altura.

39 - Subir este extremo, V, hasta la proyección vertical, V'

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Mensaje: #8177 Antonio Castilla
Dom, 20 Dic 2009, 23:29

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Determinación de las PROYECCIONES DE LA ALTURA DE UN CUERPO (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, H, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, P. MEDIANTE CAMBIO DE PLANO DE UN PLANO

40 - Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.


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41 - Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra, LT-2, perpendicular a la traza horizontal del plano.

42 - Cambiar de plano el plano que contiene a la directriz o base del cuerpo, p1'.

43 - Llevar el punto del que parte la altura, C, hasta la traza del plano cambiada, c1'.

44 - Desde ese punto, c1', levantar una perpendicular al plano, p1'.

45 - Sobre la perpendicular medir la verdadera magnitud de la altura, H.

46 - Llevar su extremo, v1', a la perpendicular a la traza del plano en la proyección horizontal. El segmento C-V es la proyección horizontal de la altura.

47 - Llevar el extremo a la proyección vertical, V'.

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Mensaje: #8180 Antonio Castilla
Lun, 21 Dic 2009, 16:36

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Proyecciones de un cono de revolución (o recto) conocida su directriz o base (una circunferencia), el plano que la contiene, P, y su altura, H.

48 - Por su centro, C se levantan perpendiculares a las trazas del plano. Sobre ella se determina la proyección de la altura (cualquiera de los cuatro procedimientos anteriores) obteniendo el vértice, V, del cono.


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49 - Generatrices del contorno del cono. Con centro en un extremo del eje menor de la elipse y radio el semieje mayor, a, trazar un arco que determinará los focos, F1 y F2, sobre el eje mayor.

50 - Con centro en V y radio hasta uno de los focos, F1 o F2, trazar un arco.

51 - Con centro en un foco, F2, y radio el eje mayor, 2a, se dibuja otro arco.

52 - Donde los dos arcos se corten, 10, se une con el foco, F1, que no se utilizó como centro y se determina su mediatriz.

53 - Esta recta es la tangente a la elipse desde el punto V. Unir el punto 10 con el foco que si se utilizó como centro, F2. Donde corte a la generatriz del contorno es el punto de tangencia, T1, de la generatriz sobre la elipse.

54 - Para el otro contorno se opera igual o se determina por simetría respecto del eje del cono.

55 - Los puntos de tangencia, T1 y T2, son los límites entre la parte visible y oculta de la directriz.

56 - Operar de igual forma con la proyección vertical, pero recordar que los puntos de tangencia del contorno del cono con su directriz no son los mismos puntos en ambas proyecciones.


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