Sección a esfera + cono

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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Antonio Castilla
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Mensaje: #8180 Antonio Castilla
Lun, 21 Dic 2009, 16:36

.
Proyecciones de un cono de revolución (o recto) conocida su directriz o base (una circunferencia), el plano que la contiene, P, y su altura, H.

48 - Por su centro, C se levantan perpendiculares a las trazas del plano. Sobre ella se determina la proyección de la altura (cualquiera de los cuatro procedimientos anteriores) obteniendo el vértice, V, del cono.


Imagen

49 - Generatrices del contorno del cono. Con centro en un extremo del eje menor de la elipse y radio el semieje mayor, a, trazar un arco que determinará los focos, F1 y F2, sobre el eje mayor.

50 - Con centro en V y radio hasta uno de los focos, F1 o F2, trazar un arco.

51 - Con centro en un foco, F2, y radio el eje mayor, 2a, se dibuja otro arco.

52 - Donde los dos arcos se corten, 10, se une con el foco, F1, que no se utilizó como centro y se determina su mediatriz.

53 - Esta recta es la tangente a la elipse desde el punto V. Unir el punto 10 con el foco que si se utilizó como centro, F2. Donde corte a la generatriz del contorno es el punto de tangencia, T1, de la generatriz sobre la elipse.

54 - Para el otro contorno se opera igual o se determina por simetría respecto del eje del cono.

55 - Los puntos de tangencia, T1 y T2, son los límites entre la parte visible y oculta de la directriz.

56 - Operar de igual forma con la proyección vertical, pero recordar que los puntos de tangencia del contorno del cono con su directriz no son los mismos puntos en ambas proyecciones.

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kaiman1991
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EJERCICIO SIN TERMINAR.

Mensaje: #13739 kaiman1991
Sab, 05 Mar 2011, 17:08

Hola Antonio, y perdona que entre en este asunto de hace tanto tiempo pero esque me han puesto ese mismo ejercicio pero con distintos datos. He realizado hasta el final de todo lo que has dicho en los mensajes pero tan solo has dicho como se hace el apartado A). El apartado B) te pide realizar la seccion a todo el conjunto sólido mediante el plano alfa que te dan.
Si no le importara y fuese posible, ¿podría decir como realizar la sección a todo el conjunto?

Muchas gracias. Espero su respuesta.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #13758 Antonio Castilla
Dom, 06 Mar 2011, 20:20

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Para hallar la intersección entre el plano Q y la esfera se puede aplicar los mismos procedimientos explicados para el plano P.

Existe otra forma que es utilizando una homología.

Sección a una esfera (centro O) por un plano, Q, mediante homología.

57 - Dibujar una recta horizontal, R2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.


Imagen

58 - La intersección de dicha horizontal, R2, con el contorno de la proyección horizontal de la esfera da los puntos 20 y 21, que constituyen el eje, e2, de la homología.

59 - Desde los puntos anteriores, 20 y 21, trazar tangentes al contorno de la esfera en proyección horizontal. El punto de corte de ambas tangentes, V2, es el centro de la homología.

60 - Dibujar una recta frontal, S2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.

61 - La intersección de dicha frontal, S2, con el contorno de la proyección vertical de la esfera da los puntos 22' y 23'. Llevarlos a la proyección horizontal de la frontal, puntos 22 y 23.

62 - Unir estas proyecciones, 22 y 23, con el centro de la homología, V2. Donde corte al contorno de la proyección horizontal de la esfera tenemos los homólogos, h22 y h23.

63 - Ya tenemos definida la homología con los siguientes elementos :

- Eje de homología, e2 = 20-21.

- Centro de homología, V2.

- Par de puntos homólogos, 22 y h22 o 23 y h23.

64 - Para hallar más puntos de la cónica, unir un punto cualquiera del contorno de la esfera en proyección horizontal, h24 por ejemplo, con uno de los puntos anteriores, h22.

65 - Prolongar hasta cortar al eje de homología, e2, (en este caso no es necesario) y unir con el homólogo, 22.

66 - Unir h24 con el centro de la homología, V2, y donde corte a la anterior es el punto 24 homólogo de h24 y uno de los puntos de la elipse.

67 - Repetir con más puntos para determinar la elipse.

66 - Para la proyección vertical se opera de igual forma que la proyección horizontal.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #13760 Antonio Castilla
Lun, 07 Mar 2011, 02:34

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A continuación hay que determinar donde se corta la sección que produce el plano Q con la base del cono.

Existen varios procedimientos :

Método I :

67 - Hallar la intersección, I2, del plano de la base del cono, P, con el plano de la sección, Q.

68 - Determinar la intersección de la recta intersección de los dos planos con la elipse que forma la sección en la proyección horizontal, puntos 25 y 26.

Método II :

69 - Hallar la intersección, I2, del plano de la base del cono, P, con el plano de la sección, Q.

70 - Abatir la recta intersección, I2, y la base del cono o la sección del plano Q. He utilizado la base del cono ya que la tenía abatida anteriormente.


Imagen

71 - En el abatimiento se determina los puntos de corte de la recta intersección con la circunferencia, puntos (25) y (26).

72 - Desabatir dichos puntos.

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Mensaje: #13762 Antonio Castilla
Lun, 07 Mar 2011, 10:42

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante un cambio de plano.


Imagen

73 - Realizar un cambio de plano del plano Q, con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano Q. El plano Q quedará proyectante.

74 - Cambiar de plano el vértice del cono y tantos puntos de la base del cono como puntos se desee para la intersección.

75 - Unir, en el cambio de plano, los puntos de la base del cono con el vértice del cono. Estas son las generatrices del cono.

76 - Donde las generatrices corten a la traza del plano, en el cambio de plano, son los puntos de la sección.

77 - Dibujar las mismas generatrices en las proyecciones horizontal y vertical.

78 - Llevar los puntos obtenidos en el cambio de plano a sus correspondientes generatrices en las demás proyecciones.

79 - Unir los puntos.

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Mensaje: #13764 Antonio Castilla
Lun, 07 Mar 2011, 10:57

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante una homología proyectada.

80 - Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano que produce la sección. La intersección de ambos es el eje de la homología.

81 - Dibujar un plano paralelo al que produce la sección pasando por el vértice del cono.

82 - Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano paralelo que pasa por el vértice. La intersección de ambos es la recta límite de la homología.

83 - La homología ha quedado definida :

- Eje de homología, la intersección del plano de la base con el plano seccionador.
- Recta límite, la intersección del plano de la base con el plano paralelo al seccionador que pasa por el vértice del cono.
- Centro de homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
- Figura a transformar, la proyección horizontal (elipse) de la base del cono.

84 - Para resolver la homología unir dos puntos cualquiera de la proyección horizontal de la base del cono hasta cortar al eje y la recta límite de la homología.

85 - Donde corte a la recta límite se une con el vértice del cono y después se dibuja una paralela a esa unión pasando por donde la recta que unía los puntos de la base cortaba al eje de la homología.

86 - Unir el centro de la homología con los puntos de la base del cono que se unieron y donde corten a la recta anterior son sus puntos homólogos, y por tanto punto de la sección buscada.

87 - Repetir con varios puntos más.

88 - Unir los puntos obtenidos con una curva.


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Mensaje: #13765 Antonio Castilla
Lun, 07 Mar 2011, 11:09

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante intersecciones de rectas con planos.

89 - Unir el vértice del cono con los puntos de su base. Estas son las generatrices del cono.

90 - Hallar la intersección de las generatrices (rectas) con el plano seccionador, Q.

91 - Para ello por cada generatriz dibujar un plano proyectante que la contenga.

92 - Hallar la intersección del plano proyectante con el plano seccionador.

93 - Donde la intersección de los dos planos corte a la generatriz con la que se esta trabajando es la intersección de la generatriz con el plano y por tanto uno de los puntos de la sección.

94 - Unir todos los puntos.


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Mensaje: #13768 Antonio Castilla
Lun, 07 Mar 2011, 11:20

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Sección del cono por el plano oblicuo Q. Mediante una homología a partir de un punto.

95 - Determinar un punto de la sección por cualquiera de los métodos anteriores. Lo más sencillo sería mediante un cambio de plano o por intersección de una recta con un plano.

96 - Se une el punto obtenido con el vértice del cono hasta cortar a la base (esto ya estará hecho) y donde toque a la base es su homólogo.

97 - Queda definida una homología con :

- Eje de homología, la intersección del plano de la base y del plano seccionador.
- Centro de la homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
- Un par de puntos homólogos, el obtenido por uno de los procedimientos anteriores y el de la base que esta en su generatriz.

98 - Para resolverla unir el punto de la base con otro también de la base hasta cortar al eje de homología.

99 - Desde ahí unirlo con el punto de la sección ya obtenido.

100 - Unir el centro de homología con el punto de la base y donde corte a la recta anterior es su homólogo y por tanto un punto de la sección.

101 - Repetir con más puntos y unirlos.


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Mensaje: #13770 Antonio Castilla
Lun, 07 Mar 2011, 11:31

.
También se puede hacer mediante una homología abatida y otras formas, pero creo que ya hay bastante para elegir.


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