4 tangentes a una Parábola.

Ejercicios sobre elipses, hipérbolas y parábolas.
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4 tangentes a una Parábola.

Mensaje: #8889 :: [NiCo] ::
Vie, 05 Feb 2010, 15:30

Hola, primero que nada me presento: mi nombre es Nicolás, soy nuevo en el Foro.

Llegue a este lugar luego de Googlear (por un largo rato) todo lo referente a construcciones de Paraboles, Hiperbolas, Elipses, etc. La verdad que encontrar un sitio de este estilo con material tan preciso y personas con verdaderos conocimientos en el tema es muy dificil, asi que es todo un logro. Mis felicitaciones por la informacion y el empeño que ponen en esto.

Lo unico que me extraño fue que no pudiera encontrar la construccion de una Parabola dada 4 tangentes, ni en este lugar, ni en ningun otro. Es por eso que decidi publicar un mensaje para explicarlo, asi ya la pueden agregar al sitio y completar estas construcciones. Desde ya el Administrador del sitio esta autorizado a explicar con mayor claridad (o mayor facilidad tambien) el contenido que yo voy a exponer, despues de todo, de seguro que lo sabe muy bien ;-)

Construccion de una Parabola dada 4 tangentes cualesquiera

Sean las tangentes: t1, t2, t3 y t4 tangentes a una misma parabola.

1) Se determinan 3 puntos utilizando las 3 primeras tangentes: t1 intersección t2 = A, t1intersección t3 = B, t2 intersección t3 = C. Se traza la circunferencia circunscripta a el triangulo determinado por estos 3 puntos.
2) Se repite el proceso con las demas tangentes. Es decir, se procede a averiguar la intersección de, por ejemplo, t1 intersección t3, t1 intersección t4 y t3 intersección t4. Se traza nuevamente otra circunferencia circunscripta al triangulo determinado por estos 3 puntos. Analogamente realizamos, t2 intersección t3, t2 intersección t4, t3 intersección t4 y realizamos la ultima circunferencia circunscripta.
3) El punto de corta de estas 3 circunferencias determina el Foco de la Parabola.
4) Proyectamos el Foco sobre 2 tangentes y obtenemos 2 puntos de la podaria. Trazando la recta determinada por estos 2 puntos obtenemos la podaria y así, el vértice.
5) Para obtener la directriz, tenemos 2 caminos (uno mas complicado que el otro, innecesario de hecho, pero util para verificar):
    i) Sabemos que el vertice se ubica en el punto medio de la recta que une a la directriz y al foco, por lo que es facil ubicar la directriz teniendo el vertice y el Foco.
    ii) El camino mas complicado, para a los que les guste hacerlo asi, seria trazar el ortocentro de 2 de los triangulos cualesquiera anteriores. Los 2 ortocentros pertenecen a la directriz, por lo que la recta determinada por estos 2 puntos es la directriz de la parabola. Se puede verificar si todo esta correcto con el ortocentro del triangulo restante, que tambien ha de pertencer a esta directriz.

Tenemos la directriz, el vertice y el Foco, queda determinada la Parábola.

Desde ya espero que les sirva a todos y les sea útil la información.

Un saludo,

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salasavo
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Parabolas

Mensaje: #9679 salasavo
Jue, 08 Abr 2010, 09:30

Hola Nico, buenos dias.
La semana pasada leí tu respuesta y me llamó la atención la afirmación que haces en lo relativo a "los 2 ortocentros pertenecen a la directriz". He estado buscando y no he encontrado la justificación a tal conclusión.
Tengo precisamente un problema al contrario, que consiste en demostrar que el ortocentro que se genera a partir de los triangulos que se forman por las tangentes de una parabola, perenece a la directriz de dicha parabola.
¿Podrías ayudarme?
Gracias.
Salasavo.

salasavo
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PENDIENTE RESPUESTA

Mensaje: #10919 salasavo
Mié, 28 Jul 2010, 12:34

Alguien sabe la respuesta a la cuestión que plantee el pasado 8 de Abril, acerca demostrar que el ortocentro que se genera a partir de los triangulos que se forman por las tangentes de una parabola, perenece a la directriz de dicha parabola.

Salasavo

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Mensaje: #10932 :: [NiCo] ::
Sab, 31 Jul 2010, 01:19

salasavo escribió:Alguien sabe la respuesta a la cuestión que plantee el pasado 8 de Abril, acerca demostrar que el ortocentro que se genera a partir de los triangulos que se forman por las tangentes de una parabola, perenece a la directriz de dicha parabola.

Salasavo


Hola, ¿qué tal?.

Primero que nada disculpame la demora, es que por alguna razon la respuesta anterior no me habia sido notificada a mi email.

No encontre mucha informacion al respecto en Internet sobre la demostracion y lamentablemente yo tampoco la tengo. Lo unico que te puedo decir es que se deriva del teorema de Lambert: "la circunferencia circunscrita al triángulo formado por tres tangentes a una parábola pasa por el foco", y en particular: "el ortocentro del triángulo anterior pertenece a la directriz de la parábola".

Te recomiendo buscar en algun libro de Geometría que contenga ese teorema, porque lamentablemente este tipo de cosas no se encuentra en Internet al menos que sea muy aclamado por la gente.

A las órdenes y mis disculpas nuevamente por no responder antes.

Saludos,

Nicolás.

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Mensaje: #10933 :: [NiCo] ::
Sab, 31 Jul 2010, 01:28

Acabo de encontrar algo de información, pero muy poca:

Espero que te sirva para localizar donde puede estar la demostración.

Saludos,

Nicolás.
Adjuntos
parabola-097a.gif

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Mensaje: #10951 salasavo
Lun, 02 Ago 2010, 06:33

Gracias Nico, seguiré tu consejo.
Saludos.


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