centro radical y circunferencias desconocidas

Ejercicios sobre potencia o circunferencias.
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martacumbre
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centro radical y circunferencias desconocidas

Mensaje: #789 martacumbre
Dom, 29 Jun 2008, 23:34

Hola.
Me gustaría que me ayudasen a resolver el siguiente problema:

Partimos de una circunferencia de radio 13 mm; a 48 mm de su centro (O1) está el centro O2 de otra circunferencia de radio desconocido, y a 29 mm de O2 hay otro centro O3 de otra circunferencia de radio también desconocido (O3, a su vez, está a 54 mm. de O1).
Además, se conoce el centro radical situado arbitrariamente dentro del triángulo que se forma al unir los centros de las tres circunferencias. ¿Cómo se pueden obtener los dos radios (y por tanto trazar las circunferencias) desconocidos?
Un pequeño tropiezo puede impedir una gran caída (dicho inglés)

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Antonio Castilla
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Mensaje: #833 Antonio Castilla
Lun, 30 Jun 2008, 11:39

.
Primero debes de hallar el valor de la potencia del centro radical respecto de la circunferencia dada.

La forma más sencilla es haciendo la tangente a la circunferencia desde el centro radical. La distancia desde el centro radical al punto de tangencia, a la que llamaré P, es el valor de la raíz cuadrada de la potencia (que no te asuste la terminología).

Existe una relación que seguro conocerás que relaciona la potencia (P^2) = (d^2) - (r^2), donde "d" es la distancia desde el centro radical al centro de la circunferencia buscada, "r" el radio de la circunferencia buscada y "^2" es para indicar que está elevado al cuadrado.

Tu conoces el valor de "P" y el de "d" (desde el centro radical hasta O2 u O3). Luego se trata de hallar "r".

Para ello dibuja dos rectas a 90º, y coloca sobre una de ellas el valor de "P". Con centro en su extremo y radio "d" te cortará a la otra perpendicular formando un triángulo rectángulo. El nuevo cateto de ese triángulo es el valor de "r", radio de la circunferencia buscada.

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luisfe
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Mensaje: #19869 luisfe
Dom, 08 Abr 2012, 14:53

Yo tengo hecho éste ejercicio que básicamente es como se ha contado, aunque yo he trazado una circunferencia de radio
CP (centro radical - punto de tangencia P) y luego he hallado los puntos de tangencia a ésta última desde los centros O2 y O3.Así tengo los radios de las circunferencias buscadas.
he señalado la distancia d2 y d3 para que se vea el triángulo pitágorico con las tres magnitudes (d^2=P^2+r^2).
Os subo el dibujo por si es de interes.
Saludos.
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Mensaje: #21723 Alicantropo
Vie, 12 Oct 2012, 11:37

Este ejercicio que ha resuelto gráficamente luisfe es posible porque ha llevado el Cr muy hacia la izquierda, en cuanto lo lleve hacia la derecha no sale.

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luisfe
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Mensaje: #21726 luisfe
Vie, 12 Oct 2012, 17:07

Alicantropo escribió:Este ejercicio que ha resuelto gráficamente luisfe es posible porque ha llevado el Cr muy hacia la izquierda, en cuanto lo lleve hacia la derecha no sale.


Hola Alicantropo :-D
Evidentemente el Centro radical no puede estar donde nosotros queramos. :!:
Recuerda que las distancias entre centros están fijadas. El CR podría estar incluso muy lejos del triángulo formado por dichas distancias :roll:
¿Qué propiedad tiene el centro radical?. :?: Piensa. :-D :-D :-D
Ciao.

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Mensaje: #21727 Alicantropo
Vie, 12 Oct 2012, 17:24

luisfe escribió:Evidentemente el Centro radical no puede estar donde nosotros queramos. :!:


Enunciado: se conoce el centro radical situado arbitrariamente dentro del triángulo :!: :?: :?:

No crees que está mal planteado el ejercicio?

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luisfe
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Mensaje: #21728 luisfe
Vie, 12 Oct 2012, 17:48

Es posible que al decir "arbitrariamente", es para que uno se de cuenta de que el CR no puede estar en cualquier parte (en esas condiciones). Fines didácticos, diría yo. ;-)
Saludos

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Mensaje: #21729 Alicantropo
Vie, 12 Oct 2012, 18:19

Gracias luisfe.

Personalmente creo que este ejercicio quedaría mejor así planteado:


Partimos de una circunferencia de radio 13 mm; a 48 mm de su centro (O1) está el centro O2 de otra circunferencia de radio desconocido, y a 29 mm de O2 hay otro centro O3 de otra circunferencia de radio también desconocido (O3, a su vez, está a 54 mm. de O1).

Además, se conoce el centro radical . ¿Cómo se pueden obtener los dos radios (y por tanto trazar las circunferencias) desconocidos?


Imagen

Donde previamente he resuelto yo las circunferencias para dar con un CR certero.
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Mensaje: #21749 Alicantropo
Dom, 14 Oct 2012, 10:04

Es más...

Según la fórmula que todos sabemos r = √(d2 – t2) y aplicando un CR "arbitrariamente" dentro del triángulo hacia la derecha (y no hacia la izquierda). Se puede comprobar cómo el valor de d va a ir disminuyendo y el de t aumentando hasta dar un valor negativo donde la raiz cuadrada no se va a poder resolver.

POr todo ello el enunciado en lugar de decir "arbitrariamente" debería de decir algo como "Además, se conoce el centro radical situado arbitrariamente dentro del triángulo (Y hacia la mitad izquierda) que se forma al unir los centros de las tres circunferencias. ¿Cómo se pueden obtener los dos radios (y por tanto trazar las circunferencias) desconocidos?


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