piramide y ángulo diedro

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alberto8
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piramide y ángulo diedro

Mensaje: #10907 alberto8
Mar, 27 Jul 2010, 16:03

hola, espero que puedan ayudarme:

"Calcular la altura de una piramide regular de base triangulo equilatero de lado 8 cm y ángulo diedro entre las caras laterales de 105º . "

gracias!! =)

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fernandore
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Mensaje: #10911 fernandore
Mar, 27 Jul 2010, 18:04

Dibuja la base (triangulo equliatero) con uno de sus lados perpendicular a la LT.De esa forma el angulo diedro lo ves en verdadera magnitud y es casi directo dibujar la piramide.

PD:Perdon por el despiste.Esto es valido si dan el angulo q una cara lateral y la base pero dan el angulo entre dos caras.Upssss
Saludos

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Antonio Castilla
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Mensaje: #10935 Antonio Castilla
Sab, 31 Jul 2010, 20:29

.
Lo que te ha planteado Fernandore es si el ángulo fuese entre la base equilátera y una de las caras laterales. Yo te lo planteo si el ángulo dado es entre dos de las caras laterales.

Hallar la altura de una pirámide regular de base un triángulo equilátero de lado 80 mm y ángulo diedro entre las caras laterales de 105º.

Supongamos la pirámide, ABCD, ya construida.

Imagen

Para medir el ángulo diedro de dos caras laterales, CDB y CDA, trazaríamos dos perpendiculares a la arista común, CD, desde un punto de ella, X. El ángulo entre ambas perpendiculares es el ángulo diedro, 105º.

El punto por el que pasan las perpendiculares, X, puede ser cualquiera de la arista común, CD, pero también se puede tomar de tal forma que las perpendiculares pasen por los vértices, A y B, de la pirámide. De esta forma conocemos tres datos del triángulo ABX : es isósceles, el ángulo X = 105º y el lado AB = 80 mm.

Otro triángulo importante en el trazado es CBX (o CAX, son iguales). De este triángulo también conocemos tres elementos : es rectángulo (X = 90º), el lado CB = 80 mm y el lado BX que se obtendrá del triángulo ABX.

La realización practica es la siguiente :

1 - En proyección horizontal se dibuja la base, ABC, como un triángulo equilátero de lado 80 mm, con uno de sus lados, AB, perpendicular al plano vertical de proyección (o a la línea de tierra).

piramide-091b.gif

2 - El baricentro, O, del triángulo ABC se une con sus tres vértices y con ello tenemos la proyección horizontal completa de la pirámide, ABCD, buscada.

3 - Apoyándonos en el lado AB se dibuja un arco capaz de 105º y desde el centro de AB una perpendicular hasta cortar al arco. Este punto (X1) se une con A y B. El triángulo A-B-(X1) es el abatimiento del triángulo ABX alrededor de la traza AB. De esta forma hemos determinado la magnitud de AX o BX.

4 - A partir de BC se traza el arco capaz de 90º y se traza un arco con centro en B y radio la magnitud BX = B-(X1), obtenida del abatimiento anterior. Donde se corten, (X2), se une con B y C siendo el triángulo B-C-(X2) el abatimiento de BCX alrededor de BC.

5 - La proyección horizontal del punto X esta en la perpendicular a su traza, AB, desde su abatimiento (X1). También estará en la perpendicular a la otra traza, BC, desde su abatimiento (X2). Donde se corten ambas, X, es su proyección horizontal.

6 - Dibujamos la base, ABC, en proyección vertical. Esta es una paralela a la línea de tierra, A'B'C'.

7 - En proyección vertical la cara ABD y ABX se ven proyectantes. En concreto la cara ABX tiene de longitud la altura, Z-(X1), del triángulo abatido A-B-(X1). Así que con centro en Z' y radio Z-(X1) se traza un arco.

8 - Desde la proyección horizontal de X se dibuja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco anterior. El punto de corte es la proyección vertical X'.

9 - El punto X esta en la arista CD, luego uniendo X' con C' tenemos la recta en la que se encuentra el cuarto vértice de la pirámide, D. Si desde la proyección horizontal de D se traza una perpendicular a la línea de tierra donde corte a C'-X' es la proyección vertical D'.

10 - Unir las proyecciones verticales A', B' y C' con D' y tenemos la proyección vertical completa de la pirámide.

11 - Si en proyección vertical bajamos una perpendicular a la línea de tierra desde D' hasta la base A'B'C' se obtiene la altura de la pirámide, H = O'-D'.

alberto8
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Mensaje: #10940 alberto8
Dom, 01 Ago 2010, 10:29

muchas gracias!! el que estaba buscando era el segundo caso =)

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fernandore
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Mensaje: #10962 fernandore
Lun, 02 Ago 2010, 17:08

Voy a proponer otro metodo.

2-8-2010 18.8.43 1.gif
2-8-2010 18.8.43 1.gif (6.36 KiB) Visto 1161 veces


Es facil demostrar q si construimos una piramide cuyas aristas fueran perpendiculares a las caras de la piramide ABCV(piramide problema),se cumple q el angulo entre aristas sería 180º-105º=75º.
Luego lo q haremos será construir una piramide q tenga 75º como angulo entre aristas laterales y posteriormente trazaremos una piramide cuyas caras sean perpendiculares a las aristas de la piramide construida con lo q habremos obtenido una nueva piramide con angulos diedros de 105º.

1-Tomamos los puntos medios de las aristas de la base (puntos 1,2,3) y por esos puntos trazamos la piramide invertida q tenga 75º de angulo entre aristas.
Para ello he realizado una construccion auxiliar donde calculo la altura H1 de dicha piramide.(piramide roja)
2-Por el punto 1 trazo un plano perpendicular a la arista de la piramide contruida.Este plano es de facil trazado al ser proyectante.
3-Situamos el punto V y terminamos de construir la piramide pedida.

Salu2

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Antonio Castilla
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Mensaje: #10965 Antonio Castilla
Lun, 02 Ago 2010, 22:53

.
Muy curioso. Es bueno conocer otras formas y así aprendemos siempre algo nuevo.


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