problema sencillo de potencias

Ejercicios sobre potencia o circunferencias.
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iherrero20
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problema sencillo de potencias

Mensaje: #11260 iherrero20
Mié, 15 Sep 2010, 13:34

La cuestión es que entiendo la teoría, pero no sé llevarla a la práctica.
Hay dos problemas que deben ser muy sencillos pero que no sé por dónde cogerlos, estos son:
(creo que si entendiera estos ejercicios podría comprender este tema)

1. Determina el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen respecto de una circunferencia de 28 mm. de radio una potencia de k1= 9 cm2 y otra k2=4 cm2.

2. Tomando un punto P sobre el plano, determina el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que tengan una potencia respecto a él de k=4 cm2.

Muchas gracias

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Mensaje: #11261 iherrero20
Mié, 15 Sep 2010, 20:01

Creo que el primero, si no me equivoco son dos circunferencias concéntricas.

Para k1 como es positivo, tomo un punto fuera de la circunferencia, trazo una recta de longitud raíz de k1 que da 3 cm, en el extremo trazo otra recta que sería perpendicular a esta última, por lo que me daría la tangente de la curva. Ahí coloco los 2,8 cm de radio y trazo la circunferencia. Ahora con radio PO (p primer punto de la recta, o centro de la circunferencia) hago la circunferencia que contiene a las tangentes posibles de la circunferencia.
En el caso de k2 al ser negativo el punto estaría en el interior de la circunferencia, en este caso la circunferencia concéntrica resultante tendría un radio de 3-2,8=0,2 cm.

Esto es lo que he pensado del primero, del segundo todavía no doy con la solución.

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Mensaje: #11270 iherrero20
Jue, 16 Sep 2010, 13:27

Creo que el segundo es la recta perpendicular al segmento de 2cm. Sería la línea de centros de las circunferencias, como un haz coaxial pero tangente.
Sólo pido si me podéis confirmar estas soluciones.

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Mensaje: #11374 iherrero20
Mar, 28 Sep 2010, 10:58

Creo que también funciona con un haz ortogonal, usando como radio el valor de la potencia, en este caso sería un haz no coaxial.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #11394 Antonio Castilla
Mié, 29 Sep 2010, 16:24

.
Para el primero :

En potencia se utiliza la expresión T² = d² - R².

Esta ecuación (ver la figura siguiente) viene de la relación que existe entre la tangente T desde un punto exterior P, el radio R de la circunferencia y la distancia d entre el centro y el punto P.
Se trata de un triángulo rectángulo que por Pitágoras nos quedará : d² = T² + R², despejando T² nos da la expresión anterior.
El valor de la longitud de la tangente T elevado al cuadrado es el valor de la potencia, T².

potencia-50a.gif
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Conocido esto el problema se resuelve así:

Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano que tienen respecto de una circunferencia de 28 mm de radio una potencia de k= 9 cm²

1 - Trazar un radio, R, cualquiera de la circunferencia.

2 - Desde su extremo, G, se dibuja una perpendicular de longitud la raíz cuadrada del valor de la potencia, GP = T = 9

3 - El punto P es un punto que tiene la potencia indicada respecto de la circunferencia. Si se dibuja una circunferencia con el mismo centro de la dada y radio, d, hasta el punto P se obtiene el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma potencia respecto de la circunferencia.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #11400 Antonio Castilla
Jue, 30 Sep 2010, 08:34

.
Para el segundo :

Tomando un punto P sobre el plano, determina el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que tengan una potencia respecto a él de k=4 cm².

1 - Dibuja una recta cualquiera pasando por el punto dado P.

potencia-50a.gif
potencia-50a.gif (4.93 KiB) Visto 1269 veces


2 - A partir de P medir una distancia igual a la raíz cuadrada de la potencia dada, 4.

3 - Desde su extremo G hacer una perpendicular a la recta. Cualquier punto de la perpendicular (lugar geométrico) es el centro de una circunferencia con radio hasta G que tiene de potencia respecto de P k = 4 cm².

Como lugar geométrico yo me conformaría con la perpendicular, ahora bien, si fuésemos muy quisquillosos la perpendicular es solo una parte de las posibles soluciones, ya que la recta inicial PG la podemos tomar en cualquier otra dirección que nos daría una nueva perpendicular. Si dibujásemos todas las posibles (e infinitas) rectas con sus correspondientes perpendiculares generaría una superficie (el lugar geométrico), en lugar de una línea. La superficie es la formada por los puntos que ahí entre la circunferencia de centro el punto dado, radio la raíz cuadrada de la potencia y el infinito.
Pero no creo que sea esto lo que te pidan.

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iherrero20
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Mensaje: #11423 iherrero20
Vie, 01 Oct 2010, 13:53

Entiendo lo que dices, pero en el problema se especifica "de todos los puntos del plano" que es lo que me ha hecho pensar en todas las posibles soluciones que corresponderían a ese punto respecto de la circunferencia.


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