Contruir elipse mediante arcos tangentes

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al051644
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Contruir elipse mediante arcos tangentes

Mensaje: #1129 al051644
Jue, 10 Jul 2008, 10:54

Pues eso, mi pregunta es cómo se puede construir una elipse mediante arcos de circunfenrencia tangentes entre sí. Más o menos la respuesta ya la habéis dado: se trata de dibujar un óvalo mediante 4 arcos tangentes.

Pero en mi caso quiero más: yo lo que quiero es aumentar el número de arcos, de forma que el resultado sea todo lo más aproximado posible a la elipse real.

Si tenéis el AutoCAD, probad a escribir PELLIPSE y cambiar el valor a 1. Entonces dibujad una elipse. Veréis que la elipse se dibuja mediante arcos de circunferencia. ¡¡ESO!! Eso es lo que quiero saber cómo se hace mediante cálculo o mediante construcción geométrica. Ésta es una captura de cómo queda en el AutoCAD:

Imagen

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PuturrúdeFuá
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Mensaje: #1130 PuturrúdeFuá
Jue, 10 Jul 2008, 10:56

Una elipse como tal, es decir que cumpla PF+PF´=2a, no se puede construir con el compás; ahora bien puedes sustituirla muy aproximadamente con un óvalo de varios centros.

Para dibujarlo:

1º.- Trazar tres circunferencias concéntricas de radios el semieje mayor, el semieje menor y la suma de los semiejes.
2º.- Trazar radios arbitrarios que cortarán a las circunferencias trazadas en en paso 1º en tres puntos A, B y C.
3º.- Por los puntos de intersección A con la circunferencia menor trazar paralelas al eje mayor y por B, puntos de intersección con la circunferencia intermedia perpendiculares al eje.
4º.- Estas rectas se cortan en puntos D. que pertenecen a la elipse
5º.- Unir los puntos D con los obtenidos sobre la circunferencia mayor por los radios respectivos y las intersecciones mutuas1,2,3 etc, de estas rectas nos determinan los centros de los sucesivos arcos que constituyen el óvalo.

Ahora ten hago un pequeño dibujo de todo ello para completar la explicación.

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al051644
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ÓVALO DE VARIOS CENTROS

Mensaje: #1131 al051644
Jue, 10 Jul 2008, 11:01

Entonces, a ver si lo he entendido. Lo pongo ilustrado por si le sirve a alguien de alguna ayuda:

1) Partimos de una elipse dados sus ejes:
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2) Trazamos 3 circunferencias con radio igual: a) al semieje menor; b) al semieje mayor y c) a la suma de ambos semiejes.
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3) Trazamos radios arbitrarios, por ejemplo, dividiendo en 4 ángulos el primer cuadrante. Obtenemos los puntos de intersección de estos radios con las 3 circunferencias anteriores.
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4) Desde los puntos de las circunferencias menor e intermedioa, mediante líneas paralelas a los ejes de la elipse se obtienen los puntos pertenecientes a la elipse.
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5) Al unir los puntos de la elipse con los respectivos puntos de la circunferencia mayor se obtienen las líneas de color verde, las cuales intersectan entre ellas en los puntos indicados también de color verde.
Imagen
Hasta este punto creo que lo he entendido correctamente. Pero, según dices PuturrúdeFuá, estos últimos puntos son los centros de los arcos que definen el óvalo. Pues bien, hay una cosa que no me cuadra: dichos arcos NO son tangentes enrte sí, en los puntos donde intersectan. ¿O me equivoco? Para que lo veáis he hecho un zoom a los 2 primeros puntos de la elipse (de color blanco). El arco que pasa por el primer punto es el de color magenta, y el que pasa por el segundo punto es de color azul. Su intersección está marcada con el punto amarillo. Si observáis, dichos arcos NO son tangentes.
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¿No se podría trazar una sucesión de arcos que fuesen tangentes entre sí?

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al051644
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Mensaje: #1132 al051644
Jue, 10 Jul 2008, 11:07

Creo que voy entendiéndolo. Resulta que cada par de centros (de los arcos del ovalo) están alineados con el punto de tangencia. Entonces sí que puedo dibujar el óvalo mediante arcos tangentes.

Pero ahora tengo otro problema. No me sale igual si lo dibujo de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

DE IZQUIERDA A DERECHA:
Imagen
DE DERECHA A IZQUIERDA:
Imagen
¿Qué hago mal?

¿Puede que el fallo esté en los radios iniciales (los de color azul)? ¿Puede que no se deban dibujar tan arbitrariamente como me pensaba? ¿O es que hay algún otro método a seguir para minimizar el error?

PuturrúdeFuá
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Mensaje: #1133 PuturrúdeFuá
Jue, 10 Jul 2008, 11:08

Hola.
El método es así, tal cual lo has dibujado.¿Has probado a realizar el trazado con compás, escuadra y cartabón?. Hazlo, ya verás como el trazado resultante te parece bastante útil; claro, con Autocad, las tangencias, si te aproximas mucho al trazado, no se realizan con toda limpieza, pero como ya te comenté más arriba, realizado con las herramientas de dibujo –para las que Mario González Monsalve nos explica el trazado-, sustituye con elegancia a una elipse (recuerda que la elipse sólo se puede construir a mano alzada, con lo que poder trazarla muy aproximadamente por este método es una ventaja, sobre todo para las pesonas que no tienen finura a la hora de realizarla).
Realiza el trazado a mano y nos cuentas.

No obstante, también existe otro trazado de un óvalo de ocho centros que quizás te pueda valer igualmente.

Saludos

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al051644
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Mensaje: #1134 al051644
Jue, 10 Jul 2008, 11:10

Gracias por la información. Te explico: estoy desarrollando un software CAM (software de diseño para realizar las trayectorias de una máquina herramienta), en el cual quiero que se puedan dibujar elipses. El problema es que la máquina herramienta solo reconoce líneas rectas y arcos de circunferencia. Por eso quiero saber cómo aproximar el trazado de una elipse mediante arcos de circunferencia. Pero claro, no se trata de obtener una elipse "con elegancia" y ya está, sino además todos los arcos deben ser tangentes entre sí, de forma que la máquina herramienta trabaje con suavidad (si no son tangentes los arcos la máquina irá a golpes).

En ese caso, si pudiéses hacerme el favor y decirme dónde puedo encontrar información para trazar el óvalo de 8 centros, te lo agradecería tremendamente.

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Mensaje: #1135 PuturrúdeFuá
Jue, 10 Jul 2008, 11:12

Bueno, ya sabemos que la elipse es una curva que no se construye con el compás y para los fines del dibujo geométrico este método explicado por Monsalve, nos vale más que de sobra y queda muy bien resuelto.
No obstante, puedes probar con un óvalo de ocho centros -trazado que se emplea cuando se quiere mucha precisión-
Saludos

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Mensaje: #1136 al051644
Jue, 10 Jul 2008, 11:13

De acuerdo, gracias. Precisamente necesito mucha precisión, ¿cómo se construye el óvalo de ocho centros? ¿no conoces ningún link donde pueda obtener más información al respecto? He intentado buscarlo pero no encuentro nada

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Mensaje: #1137 al051644
Jue, 10 Jul 2008, 11:45

El arco que he visto que se asemeja a la aproximación de una elipse es el CARPANEL, aunque hay varias versiones de éste. Como podéis ver, los carpanel nº 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se trazan mediante 3 centros; mientras que el carpanel nº 10 se traza mediante 5 centros. El problema es que no está explicado. Según se aprecia en la figura...

Imagen

... parece ser que los puntos 1 y 2 se obtienen dividiendo en 4 partes iguales el segmento AB. Después se traza un triángulo equilátero hacia abajo de lado 12. El problema es que no está explicado cómo se obtiene el punto 5.

¿Alguien sabe cómo se contruye este arco?

PuturrúdeFuá
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ARCO CARPANEL

Mensaje: #1149 PuturrúdeFuá
Vie, 11 Jul 2008, 00:32

Si el carpanel te es útil ¡¡¡estupendo¡¡¡..

Además del carpanel de 5 centros hay otro de 7 centros y otro de varios centros, cuya construcción se asemeja bastante al óvalo de varios centros anteriormente explicada.

Bueno Alo, pues ahí va. Espero de verdad que te sea útil.

Arco carpanel de siete centros.

Imagen

1º.- Dividir el cuadrante de radio SM en siete partes iguales, fijando arbitrariamente los centros O1 sobre el semieje mayor (luz del arco) y O2 sobre la paralela a AS trazada por O1.

2º.- Por O2 trazar la paralela a SB hasta su encuentro en C con la paralela a AB trazada por el extremo T del primer arco.

3º.- Las paralelas a DV y BD trazadas respectivamente por F y C se cortan en el punto E y la paralela a DS trazada por este punto E determina los centros O3 sobre la prolongación de CO2 y O4 sobre el eje FS

4º.- Los restantes centros se determinan simétricamente a los obtenidos, respecto al eje del arco


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