Un pequeño problema de ingeniería

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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iperez
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Mensaje: #2135 iperez
Dom, 07 Sep 2008, 14:40

Pues parece que el problema es "interesante", "curioso" y "bonito" pero, por lo que vemos, poco resoluble. ¿Nadie se anima a hincarle el diente?

Cuando nos lo pusieron en el examen final de dibujo allá por el año 1988 y en una primera lectura parecía fácil de resolver, pero cuando te ponías a la tarea ... ¡¡Jod.., con el problemita!!

¡¡Animo que tiene solución!!

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Compas
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Registrado: Mié, 10 Sep 2008, 19:26

Mensaje: #2165 Compas
Jue, 11 Sep 2008, 00:10

Para la resolución del problema de los anillos estudiamos la posición en la que los anillos quedan trabados.
Cada anillo tiene, en contacto con el otro anillo, 4 puntos en los que se tocan las circunferencias internas de ambos
(puntos A) y 2 puntos en los que se tocan las circunferencias exteriores con la superficie interior del otro anillo
(puntos B). Estos contactos aseguran que los anillos no se pueden mover. Lo vemos en el siguiente boceto:
Imagen

Ahora, si colocamos los anillos de forma que veamos el eje de uno de ellos de punta y el eje del otro en verdadera
magnitud (los anillos son en realidad cilindros con un agujero interior) veríamos lo siguiente:
En la vista en alzado los puntos A están colocados en un plano perpendicular (plano π), los puntos B de la
izquierda en una línea vertical (recta r) y los puntos B de la derecha en una línea de punta(recta s). Dada
disposición de los anillos trabados, y como estos son iguales, la distancia del plano π a la recta r es la misma que
la distancia del plano π a la recta s.
Imagen

Por lo tanto, para calcular el grosor de los anillos que cumplan la condición de igualdad de la distancias antes comentadas, deberemos variar el grosor y estudiar el emplazamiento del punto medio del segmento de recta t de la figura. Cuando dicho emplazamiento coincida con el circulo interior del anillo, tendremos el problema resuelto. El lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos es una elipse cuyo centro esta desplazado hacia la derecha del centro de la circunferencia exterior la mitad de su radio, cuyos semieje mayor es el radio de la circunferencia interior y cuyo semieje menor es la mitad del radio de la circunferencia exterior.
Imagen

Una vez obtenida esta elipse, se calcula su intersección con la circunferencia interior y ya esta resuelto el problema.
Imagen

Curiosamente, si se cambian los datos del problema, la posición del punto de intersección entre la elipse y la circunferencia interior permanece invariable a 1/3 del radio exterior.

¡¡Bonito y enrevesado problema!!

iperez
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Mensaje: #2167 iperez
Jue, 11 Sep 2008, 09:47

Efectivamente el razonamiento y resolución de Compas son correctos. Sin embargo existe una solución mucho más simple y que él mismo intuye al decir que el plano que contienes a los puntos A se encuentra a R/3 del eje de los anillos.

Si admitimos como condición de bloqueo de los anillos que el plano pi equidiste de los puntos de contacto B, tendríamos la posición de equilibrio que adjunto, donde se ve claramente la resolución de problema sin necesidad de recurrir al trazado de elipses afines. El problema tiene entonces, una resolución gráfica muy sencilla.


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