TRAZOIDE

1.- Dibuje el triángulo rectángulo ABC, siendo A el vértice del ángulo recto, conociéndose la hipotenusa BC y el punto H por el que la
bisectriz del ángulo recto corta al lado BC.

Hola:

Tienes que utilizar la propiedad por la que la bisectriz se junta con la mediatriz en un punto de la circunferencia exinscrita circunscrita, la cual puedes trazar.
Saludos

Persona Julia pero creo que querías decir circunferencia CIRCUNSCRITA (o yo no he entendido el problema)
Más que nada por que Isabel1999 se puede volver loca si busca la circunferencia exinscrita.

Hola Luisfe:
Tienes razón,quería decir circunscrita. Saludos

Hola, buenas noches. He preguntado por este procedimiento en otro hilo de conversación, donde se resuelve por intersección de arcos capaces. ¿Cuál es esta propiedad de la que habláis? ¿Se puede justificar gráfica o matemáticamente de alguna manera?

Muchas gracias,

Carmen

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Te lo voy a comentar sobre un caso genérico para que no te confundas con las coincidencias de este caso especial y lo puedas aplicar a otras situaciones:

Tenemos un triángulo cualquiera ABC y su circuncentro O.



Si trazamos la mediatriz del lado BC pasará por el circuncentro O, por el punto medio M de BC y cortará a la circunferencia en el punto X.

Si unimos los vértices B y C con el circuncentro O tenemos dos triángulos BOM (verde) y MOC (amarillo).



Los dos triángulos son iguales ya que sus tres lados son iguales porque:

- BO = CO, porque son radios de la circunferencia circunscrita.
- BM = MC, porque M es el punto medio del lado BC.
- OM es un lado común a ambos triángulos.

Por lo tanto, como son triángulos iguales sus ángulos también serán iguales, BOM = MOC.

Ahora nos fijamos en los triángulos BOX y XOC formados por el circuncentro O, los vértices del lado B y C y el punto de corte de la mediatriz con la circunscrita X.



Los dos triángulos son iguales ya que dos de sus lados y una de sus alturas son iguales porque:

- BO = CO, porque son radios de la circunferencia circunscrita.
- OX es un lado común a ambos triángulos.
- BM = MC, por ser M el punto medio de BC.

Por lo tanto, como son triángulos iguales sus ángulos también serán iguales, BOX = XOC.

Si se quiere una demostración más corta se podría decir que los triángulos BOX y XOC son simétricos respecto de XO.

Ahora aplicaremos las propiedades de los ángulos de las circunferencias.

BOX es un ángulo central. Y si unimos el vértice A con el punto X tenemos el ángulo inscrito BAX.



El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que subtiende, BAX = BOX / 2.

Lo mismo podríamos decir con XAC = XOC / 2.

Pero como los dos ángulos centrales son iguales BOX = XOC, también lo serán los ángulos inscritos BAX = XAC. Y si ambos ángulos son iguales y están formados entre los lados AB, BC y la línea AX, entonces AX es la bisectriz del ángulo A. Y como dicha bisectriz partía del punto donde la mediatriz de BC cortaba a la circunscrita podemos decir que:

"En un triángulo, la bisectriz de un ángulo pasa por el punto donde la mediatriz del lado opuesto corta a la circunferencia circunscrita".

Se puede decir de otras formas, y explicarlo más claro, pero para empezar ahí tienes una demostración.

Impresionante! Muchísimas gracias, me habéis sacado de un embolado una vez más