Polígono irregular inscrito *

Ejercicios sobre polígonos y proporcionalidad.
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fernandore
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Mensaje: #20582 fernandore
Mar, 03 Jul 2012, 09:49

Conceptos previos

1-Dado dos puntos (E y D) hallar los conjugados armonicos de razon dada a/b

Primero recordemos q 4 puntos alineados (EDNM) son conjugados armonicos si se verifica q

EM/MD=EN/DN


Imagen

Si tenemos los puntos E y D y queremos situar 2 puntos M y N q sean conjugados armonicos,abrá infinitos pares de puntos,pero si ademas de q sean conjugados armonicos queremos q su razon sea a/b solo abrá un par de puntos q lo cumplan.

Efectivamente,si procedemos como en la figura adjunta podemos verificar aplicando proporcionalidad q EM/MD=EN/DN=a/b

2-Lugar geometico de los puntos cuyas distancias a otros 2 puntos fijos(E,D) estan segun una razon dada a/b

Existe una propiedad (q no voy a demostrar) q dice q dado dos puntos fijos E y D,el lugar geometico de puntos B cuya razon de distancias a E y D es constante,es una circunferencia.Es decir q los puntos B q verifican q BE/BD=a/b, estan sobre una circunferencia.

Ademas se verifica q los puntos diametrales de esa circunferencia son conjugados armonicos de razon a/b de los puntos fijos E y D.
Es decir q los puntos M y N seran el diametro de la circunferencia-lugar geometrico de los puntos B cuya razon de distancia a E y D es a/b.

RESOLUCION

Supongamos resuelto el problema.


Imagen

si pinchamos en el punto B y giramos los puntos C y D hasta situarlos segun la figursa en C' y D'.Observamos q el lado BD' es paralelo a la recta AD debido a q los angulos en C y en A son suplementarios ya q el cuadrilatero es inscriptible.

Unimos el punto B con el D' y situamos el punto E.

Por proporcionalidad se verifica q AE/D'C'=AB/C'B o lo q es lo mismo AE/c=a/b Luefo el punto E se puede situar hallando la cuarta proporcional de a,b,c

Por otro lado la razon de distancia de B a E y D será BE/BD=BE/BD' q aplicando proporcionalidad BE/BD'=a/b

Luego B pertenece al lugar geometrico cuya razon de distancia a E y D es a/b.
Ese lugar geometrico es la circunferencia de diametro MN,donde M y N son los conjugados armonicos de razon a/b de los puntos E y D.

Es decir q trazando la circunferencia de diametro MN podemos situar el punto B ya q la distancia AB=a nos es conocida.
Una vez situado el punto B los demos puntos son inmediatos.

Salu2

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luisfe
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Mensaje: #20584 luisfe
Mar, 03 Jul 2012, 15:49

Otra vez muchas gracias Fernandore por las explicaciones y es de agradacer también el entusiasmo volcado en ello.
Las he leido una vez y parecen bastante lógicas. Tendré que releerlas para terminar de entender bien la idea y no perder detalle.
Si además lo logras con al menos un pentágono irregular inscriptible, me quedaré tranquilo el resto del verano, :-D :-D .
y si alcanzas un método general para cualquier número de lados, te ponemos a jugar en "la roja" :lol: :lol: :lol: .
Un abrazo.

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luisfe
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Mensaje: #20588 luisfe
Mar, 03 Jul 2012, 19:06

¡Genial! :shock:

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luisfe
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CUADRILÁTERO CÍCLICO CONOCIDAS LAS LONGITUDES DE SUS LADOS

Mensaje: #24588 luisfe
Mié, 03 Abr 2013, 18:20

Hola.
Éste es uno de los problemas que más me gusta de geometría.
Interpretado por mí en esta otra animación :

Imagen



Saludos

Imagen alternativa de la animación :

Imagen

Seroig
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Mensaje: #32607 Seroig
Jue, 08 Sep 2016, 11:30

Una solución alternativa, construcción de un ángulo del cuadrilátero (figura1) basándome en el teorema del coseno.
En la figura 2, sobre un lado (a) con una semicircunferencia construimos les terceras proporcionales AE, AF y AG de los otros tres lados
En la figura 3, por Tales, la cuarta proporcional “e” entre a, c y d
En la figura 4, un triángulo rectángulo de hipotenusa “b+e” y cateto “BH= AB+AE-AF-AG”, nos determina el ángulo “B”.
Cuadrilátero.bmp
Cuadrilátero.bmp (1.53 MiB) Visto 37 veces

Saludos


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