triángulo isósceles *

Ejercicios sobre polígonos y proporcionalidad.
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luisfe
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Mensaje: #21679 luisfe
Lun, 08 Oct 2012, 12:33

Hola. Te adjunto 3 versiones de lo mismo, elige la que quieras o inventa otra. Incluyo el triángulo isósceles mayor y menor (únicos en éstas condiciones, diría yo). Efectivamente, algunas rectas, casi coinciden, pero es inevitable con esos datos. También le puse el nombre a la recta "s"que buscabas (se había extraviado, sorry!). Como no nos dan una posición concreta de las circunferencias O1 y O2, ahí se acaba el ejercicio. Pero si tanto los centros O1 como O2 están fijados, lo único que hay que aplicar es el giro o traslación correspondiente a nuestra solución. Por último, en cuanto a lo errático que comentas, no te preocupes, por que todo está trazado con plena lógica. Te dejo a tí, el entender los trazados propuestos.
Saludos.
3º versión
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1º versión
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2º versión "simplificada"
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luisfe
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Mensaje: #24204 luisfe
Lun, 25 Feb 2013, 20:26

Hola. Estaba dando un repaso a algunos ejercicios que he posteado con bastante anterioridad e intentar resolverlos de nuevo buscando métodos nuevos..
Pues bien, no hay nada mejor que alejarte de un ejercicio durante un buen tiempo para encontrarte de nuevo con él y encontrar rápidamente una solución más
entendible y elegante como la que muestro a continuación. Por homotecia pura y dura.


1. Hallar el centro de homotecia Ch (positivo) de las dos circunferencias.
Por ser en éste caso el tamaño de las circunferencias 2/1 sería hallado rápidamente, pero para otros casos proceder de la forma habitual.
2..Trazamos diametralmente un ángulo inscrito en una de las circunferencias de 30º / 2 = 15º. (fórmula deducible fácilmente viendo el dibujo resuelto)
3. hallamos la circunferencia tangente (mismo centro) a la rama del ángulo (que no pasa por el centro)
4. La tangente a ésta desde Ch cortará a ambas circunferencias en los puntos de tangencia buscados.
5. A partir de aquí es muy fácil construir nuestro triángulos isósceles mayor y menor.
Espero que os guste ésta nueva solución.
triángulo isósceles tang 2 circunferencias mayor y menor hommotecia  4 ver trazoide.png

Tenéis también una animación del ejercicio aquí:



Utilizando el centro de homotecia negativo se obtienen otras soluciones:
triángulo isósceles tangente a 2 circunferencias dadas otras soluciones homotecia.png


Saludos.

Imágenes alternativas :

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acor
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nuevo método

Mensaje: #26834 acor
Sab, 16 Nov 2013, 01:56

quería saber si realizando primero el ángulo de 30 º en A, y a continuación, a partir de dos puntos B´y C´cualesquiera trazar las dos circunferencias tangentes exteriores. Tenemos la distancia entre centros, y aplicaremos una traslación por lugar geométrico de los centros de las circunferencias, donde coincida con la distancia pedida. (mejor explicado: el segmento O1-O2 se prolonga hasta la medida pedida. Entonces se lleva una paralela hasta cortar a la recta lugar geométrico del centro de circunferencia tangente a esa recta. (Similar al método para trazar un polígono semejante por radiación)

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Mensaje: #26858 luisfe
Dom, 17 Nov 2013, 11:07

Hola acor.
Si he entendido bien, propones lo mismo o parecido a lo que ideó Celedonio en su día.
Mejor ver el dibujo de tu propuesta.
Saludos.

acor
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Mensaje: #26861 acor
Dom, 17 Nov 2013, 14:30

este es el procedimiento. primero el ángulo en A. Hallar la bisectriz para trazar r´cualquiera perpendicular a la bisectriz. Así tengo asegurado un triángulo isósceles. Hallo los lugares geométricos de las circunferencias. Desde O´1- O´2 coloco la distancia, que después traslado sobre los lugares geométricos, paralelo a uno de los lados del triángulo (en este caso, AC´). Una vez hallados los O1 y O2, busco los vértices B y C.
Me parece que no llevo error, y es mucho más sencillo.
Adjuntos
20131117_151838.jpg

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Mensaje: #26862 luisfe
Dom, 17 Nov 2013, 16:07

Hola.
Vuelo a decir lo mismo que dije al principio del tema, no son trasladables las magnitudes.
Creo recordar y de ésto hace mucho, que el ángulo que forma la recta que pasa por las tangentes y la recta que une los centros inevitablemente varía
en la traslación.
La recta que une las tangentes (la del lado desigual isósceles) se mantiene obviamente perpendicularmente constante, pero si te imaginas valores extremos, por ejemplo, O2 siendo un punto, observarías como el triángulo formado O1O2T1 no se mantiene semejante.
También puedes probar a acortar la distancia de 75 a una mucho menor. el segmento distancia no va permanecer paralelo a lo largo del recorrido. Siempre recomiendo "bombardear" el problema con datos feos o extremos. Cambiar el ángulo en A de 30º a 47º, diámetros que no sean múltiplos, etc, para estar seguro de no caer en casualidades. para luego entretenerse (SI SE QUIERE, que no hace falta en éste caso) en demostrarlo matemáticamente,
Es un ejercicio muy engañoso.
Saludos

Seroig
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Mensaje: #26878 Seroig
Lun, 18 Nov 2013, 15:22

El radio de la circunferencia O1 es "a", el de la O2 "b", "a>b" y la distancia entre centros "c"
Trazamos una circunferencia concéntrica a O1 de radio "a+x", otra a O2 de radio "b+x"
Por un punto de intersección de estas dos circunferencias trazamos dos rectas que pasen por sus centros, cortaran a O1 en B1 y B2 y a O2 en C1 y C2
Estos puntos son los puntos de tangencia de los lados de los triángulos que cumplen la condición, A1B1C1 triángulo con circunferencias tangentes interiores , A2B2C2 triangulo con circunferencias tangentes exteriores, A3B1C2 con una interior y otra exterior y A4B2C1 con una exterior y otra interior
Construcción de "x":
Trazamos un arco de radio "2c" con centro O y extremo del radio P
Trazamos un ángulo POQ de 15º
Trazamos una perpendicular por Q a OP que cortará en R
Trazamos una circunferencia cuyo diámetro sea QR
Por O trazamos otra circunferencia de radio "(a-b)/2", que corta al radio OP en S
Por S trazamos una perpendicular a OP que corta a OQ en T
Con centro en Q trazamos una circunferencia de radio ST, cortará a la circunferencia de diámetro QR en U
Trazamos el segmento RU
Con centro en U trazamos una circunferencia de radio "(a+b)/2" que cortará a RU en V
RV es "x"
De momento no lo he generalizado para el ángulo

Seroig
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Mensaje: #26879 Seroig
Lun, 18 Nov 2013, 16:09

Con los valores de ejemplo 76, 15, 30 y 30º del enunciado se me hacía imposible una construcción, generalizando los radios y distancias lo he conseguido. Generalizando también por el ángulo creo que se simplifica

Seroig
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Mensaje: #26885 Seroig
Lun, 18 Nov 2013, 18:03

Generalizando:
El radio de la circunferencia O1 es "a", el de la O2 "b", "a>b", distancia entre centros "c" y ángulo "A"
Trazamos una circunferencia concéntrica a O1 de radio "a+x", otra a O2 de radio "b+x"
Por un punto de intersección de estas dos circunferencias trazamos dos rectas que pasen por sus centros, cortaran a O1 en B1 y B2 y a O2 en C1 y C2
Estos puntos son los puntos de tangencia de los lados de los triángulos que cumplen la condición exigida, A1B1C1 triángulo con circunferencias tangentes interiores , A2B2C2 triangulo con circunferencias tangentes exteriores, A3B1C2 con una interior y otra exterior y A4B2C1 con una exterior y otra interior
Construcción de "x":
Construimos un triángulo rectángulo de hipotenusa (a-b)/2 y ángulo A/2, al cateto opuesto a dicho ángulo lo llamamos "d"
Construimos un segundo triangulo rectángulo de hipotenusa "c/2" y cateto "d", llamamos al otro cateto "e"
Construimos un tercer triángulo rectángulo de ángulo "A/2" y cateto contiguo "e", llamamos a la hipotenusa "f"
Al segmento "f" le restamos el segmento "(a+b)/2", el segmento resultante es "x"

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Mensaje: #26893 luisfe
Lun, 18 Nov 2013, 22:06

Hola Seroig
Veo que te ha gustado el problemita.
Intuyo que has hecho un gran esfuerzo y digo intuyo, por que si te soy sincero, lo he leido muy por encima, espero tener algo de tiempo
para detenerme en ello.
Por otro lado, comentar que la demostración de mi último método sobre éste ejercicio (sean los valores que sean) habla por si mismo y no necesita de ninguna ratificación matemática, ya que se basa en principios bien conocidos de dibujo geométrico y la aplicación de ellos.
Bueno, lo dicho, a ver si tengo más tiempo para ello.
Apreciamos tu esfuerzo y no viene mal apoyos matemáticos a todos éstos asuntos. Yo soy bastante vago para ello y he perdido mucha práctica.
Saludos


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