Trazar dos circunferencias tangentes a las dadas de igual radio *

Ejercicios sobre potencia o circunferencias.
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javierilloqg
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Trazar dos circunferencias tangentes a las dadas de igual radio *

Mensaje: #23459 javierilloqg
Sab, 12 Ene 2013, 10:43

Hola, soy nuevo en el foro y necesito ayuda con el siguiente ejercicio:
"Trazar dos circunferencias tangentes a las dadas de igual radio, que tengan su centro en la recta r." Gracias de antemano. Un saludo.

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luisfe
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Mensaje: #23467 luisfe
Sab, 12 Ene 2013, 13:05

Hola.
Una forma sería ésta. No doy demasiadas explicaciones, no sé que nivel tienes. :)
Hay 4 soluciones por regla general, depende de la posición o si intersecan, etc..
Las dos primeras que son las tangencias interiores y exteriores a las dos, aplico un procedimiento básico, basándome en
que las circunferencias c1 y c2 son iguales. trazo mediatriz entre los dos centros y "chupao".

Imagen

Para las otras dos soluciones que serían tangentes interior y exterior a una u otra, aplico dilatación y luego inversión .
Así que lo primero que se me ha ocurrido es ésto:

DILATACIÓN negativa:
radio de c3 = c1+c2
c2 pasará a ser el punto O

INVERSIÓN
Centro de inversión O con un valor tal que:
c3 = c3' y la inversa de r será circunferencia cr'
trazar tangentes a c3' desde el centro de cr'
Sus inversas serán las soluciones.

Imagen
Saludos.

javierilloqg
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Muchas gracias por responder

Mensaje: #23470 javierilloqg
Sab, 12 Ene 2013, 13:50

Muchísimas gracias por responder, me ha servido de ayuda. Lo que no entiendo es eso de las dilataciones, ya que creo que no me lo han explicado. Estoy en 1º Bachillerato. Gracias de nuevo, y saludos.

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luisfe
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Mensaje: #23471 luisfe
Sab, 12 Ene 2013, 15:50

Hola.
La dilatación puede ser reduciendo (lo más normal) el radio de las dos circunferencias en la misma cantidad
o bien reduciendo una y dilatando la otra también en la misma cantidad, con el objeto de convertir a una de ellas
en un punto. Es más fácil trabajar con un punto. Las rectas en éste aspecto son circunferencias radio infinito que también serán
afectadas en un movimiento de traslación en un sentido u otro y en la misma cantidad pero verás más adelante que en éste caso "ni se mueve" ¿Por qué?
Después de hacer las oportunas operaciones, toca restablecer a su original estado las transformaciones producidas por la dilatación.
Aprovecho y te mando una solución por Potencia, ya que se adapta más al subforo donde has planteado la pregunta.
Primero aplicamos una dilatación negativa en la que c1 pasa a ser c1'=c1+c2 (ó = c1+c1)
la circunferencia c2 disminuye en la misma cantidad quedándose en la "mínima expresión" (punto).
La recta r no será afectada por la dilatación, quedando igual, ya que será la recta de los centros solución.
Trazas una circunferencia auxiliar con centro en la recta r, pase por O2 y corte a c1.
Trazas el eje radical por los puntos de corte = recta e
Perpendicular p por O2 a la recta r.
Dónde corta e con p tenemos CR que es el centro radical.
Hallamos el punto de tangencia T de una recta desde CR a la aux. (no dibujada).
Arco con centro en CR y radio CRT hasta cortar a c1' en los p.tangencia solución T1' y T2'

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julianst
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Mensaje: #23490 julianst
Dom, 13 Ene 2013, 10:50

luisfe escribió:Hola.

INVERSIÓN
Centro de inversión O con un valor tal que:
c3 = c3' y la inversa de r será circunferencia cr'
trazar tangentes a c3' desde el centro de cr'
Sus inversas serán las soluciones.
tangentes a 2 CC iguales con centro en recta 2 sol mixtas.png

Saludos.


Hola lusfe:
El ejercicio es correcto pero no me gusta que hagas la figura inversa de la recta r donde están los centros solución porque no sigue, en mi opinión, las pautas de los ejercicios de tangencias realizados por inversión, me refiero a los ejercicios en los cuales cuando el dato que sea un punto (de los tres datos que forman en problema de tangencias) se elige como centro de inversión.
Yo prefiero la explicación siguiente:
Partiendo de la dilatación que has realizado tenemos los siguientes datos: La circunferencia C3, (dilatada), el punto O (el centro de la otra circunferencia) y la condición de que el centro solución esté en la recta r. Como el centro está en la recta r, también pasará por el simétrico (O) del punto O respecto de de la recta r. Por lo tanto, los tres datos del problema son: Circunferencia = C3: punto = O; punto = (O).
Resolución. Según tus pasos: Centro de inversión O con un valor tal que: c3 = c3' . El punto P (que coincide con el centro de la circunferencia Cr) es el inverso de (O) –o sea, el inverso del simétrico (O) de O respecto de la recta r, es el punto desde donde trazamos las rectas tangentes a C3-.
En el resto coincido.
Saludos Julián Santamaría

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luisfe
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Mensaje: #23491 luisfe
Dom, 13 Ene 2013, 11:25

hola Julianst.
Sí, lo que propones es más correcto. Ya sabes que soy un poco "instantáneo" en resolver ciertos ejercicios y el academicismo no lo tengo muy controlado.
Siguiendo tu consejo y si me permites, adjunto dibujo siguiendo lo que sugieres, que seguro es de interés general.
Así que chicos, a la versión anterior le quitáis Cr y añadís un puntito y ya tenéis la nueva versión mejorada o más académica, como lo veáis.
Muchas Gracias.

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luisfe
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Mensaje: #23501 luisfe
Dom, 13 Ene 2013, 17:04

Hola de nuevo Julianst.
Pensando un poco más, veo que mi forma de verlo no es ni mejor ni peor, creo.
Piénsalo de ésta manera, que es como lo pensé yo:
"circunferencias tangentes a otra, que pasen por un punto y corten perpendicularmente a la recta".
¿ Y que son las circunferencias que cortan perpendicularmente a una recta? las circunferencias con centro en dicha recta.
Además, la inversión así propuesta no añade más objetos a la lista sino que utiliza los que ya están.
Luego las tangentes a C3' son las que "vienen" de cortar perpendicularmente a la inversa de la recta ( circunferencia Cr).
Me gustan las dos formas y aprecio mucho tu aporte al tema.
Un saludo.

julianst
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Mensaje: #23531 julianst
Lun, 14 Ene 2013, 21:39

Hola luisfe:
Gracias por desarrollar mi propuesta. Tu método de ortogonalidad también es muy interesante.
Saludos, Julián Santamaría


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