Dos puntos A y B de un mismo lado de una recta. *

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lamm
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Dos puntos A y B de un mismo lado de una recta. *

Mensaje: #25568 lamm
Lun, 15 Jul 2013, 17:37

Conociendo los dos puntos A y B de un mismo lado de una recta r. Determinar un punto P sobre r tal que PA al cuadrado mas PB al cuadrado sea mínimo.

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luisfe
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Mensaje: #25572 luisfe
Lun, 15 Jul 2013, 20:44

hola. No se si estará correcto del todo el enunciado del ejercicio ya que lo que no entiendo bien es, si es obligado que A y B tengan que estar a un lado del punto P (cosa que no me parece que tiene mucho sentido) o no.
Yo he supuesto que P puede estar en cualquier lugar de la recta r.
Se intuye desde un principio que P debería de estar en el medio, ya que si aumenta la base en una de las potencias (por ejemplo AB) y la otra disminuye, el peso de la operación suma recae sobre la base mayor, una curva exponencial con más pendiente digamos. pero ésto no es nada más que intuición.
Para demostrarlo gráficamente hago lo siguiente:
Si transformamos la operación en un triángulo rectángulo en la que los catetos representan los cuadrados PA y PB. y la suma de los cuadrados la representa la hipotenusa AB (ya sabemos que es la raíz cuadrada pero
para los efectos no varía el resultado al queremos llegar).
La línea discontinua roja representa el lugar geométrico del vértice A de todos los triángulos rectángulos que resultan de la transformación construidos sobre la recta r , estando fijos A y B y móvil el punto P.
La menor hipotenusa la tendremos en la distancia más corta desde B a dicho lugar geométrico. (línea disc roja)..
Encontrándose P justo como cabía esperar en el punto medio entre A y B.

Repito que no estoy convencido del todo si es la respuesta a lo que preguntas o intentabas preguntar
Saludos

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lamm
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gracias por el intento

Mensaje: #25577 lamm
Lun, 15 Jul 2013, 23:04

Bien tengo que ser mas preciso asi que adjunto la imagen como se quiere ....

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COTA
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¡¡¡¡

Mensaje: #25579 COTA
Lun, 15 Jul 2013, 23:41

:-( :-( :-( a VER SI TE CUADRA.... :-( :-( :-o

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luisfe
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Mensaje: #25580 luisfe
Mar, 16 Jul 2013, 06:15

Hola. Acabo de ver el dibujo. Ésto aclara bastante la pregunta.
De todas maneras no andaba descaminado, ya que se podría aplicar lo que dije anteriormente para éste nuevo caso.
También he visto la respuesta de COTA, pero NO ES CORRECTA.
Te adjunto la solución.

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Última edición por luisfe el Vie, 19 Jul 2013, 15:36, editado 1 vez en total.

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¡¡¡

Mensaje: #25581 COTA
Mar, 16 Jul 2013, 09:56

cierto están elevadas al cuadrado¡¡¡¡

lamm
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para luis

Mensaje: #25594 lamm
Jue, 18 Jul 2013, 12:10

Excelente luis pero cual seria el fundamento geométrico con regla y compas mas explicito del punto mediooo, es que tengo que exponerlooo y no se como sustentarlo. Nivel colegio secundaria por favorr

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luisfe
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Mensaje: #25604 luisfe
Vie, 19 Jul 2013, 15:59

Hola.
Desgraciadamente no tengo una demostración gráfica convincente para éste caso (matemática por su puesto que la hay).
En mi primer post demostré que el punto medio era la solución para el caso de que A B y P estuvieran alineados en la recta r.

Para éste nuevo caso de A y B exterior a un lado de la recta, intuí que la mejor forma de obtener el punto P, fuera proyectando ortogonalmente el punto medio AB sobre la recta. una manera de preservar el mismo "equilibrio" en el aumento y disminución del resultado PA² y PB². Luego mediante una comprobación sencilla con el ordenador efectivamente, me confirmo que era cierto que el punto medio es el que da el mínimo valor. Esto puede servir como premisa o punto de partida para aquellos interesados en desvelar el asunto.

¿Cómo intuí, sin cálculos que podría ser así? Atreviéndome a confesar mis pensamientos (puede que un tanto infantiles) te diré por ejemplo... pongamos el caso en el que P se encuentra en el punto (en r) más próximo a A (justo en la perpendicular desde A a la recta, ahora si movemos P un "poco" a un lado u otro. observamos que hay un rápido aumento o disminución en PB mientras que PA apenas altera su valor(más alto menos cambio). Por lo tanto si P lo acercamos hacia el centro, PB si disminuirá sensiblemente su valor y afectará igualmente al resultado general de la suma, disminuyendo su valor.
Ocurre lo mismo si P se encuentra justo debajo de B y movemos P hacia el centro; el valor disminuye también.
Parece ser que si movemos P hacia el centro obtenemos un resultado menor cada vez. Esto tampoco prueba del todo lo que queremos saber.
Para estar más convencido de que el "equilibrio" está en el centro, dibuje dos triángulos rectángulos de catetos PA, PB y su hipotenusa representado indirectamente el resultado de la suma de cuadrados en puntos de P simétricos respecto al centro. Al dar idénticos resultados, cabe pensar en que la función PA²+PB² tiene su punto de inflexión en dicho centro con el mínimo valor.

Repito que todo ésto es simple intuición, si alguien sabe DEMOSTRAR GRÁFICAMENTE que el punto medio entre A y B (estén, donde estén) proyectado ortogonalmente sobre la recta r es el que da el mínimo valor para PA²+PB² , estaría muy agradecido de que lo compartiera con nosotros.
Saludos.

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luisfe
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Mensaje: #25620 luisfe
Jue, 25 Jul 2013, 10:48

Hola. No se que ha pasado, pero éste post se ha borrado como por arte de magia :roll: . Vuelvo a cargarlo.
Voy a contar una historia muy muy larga, espero no aburriros demasiado.
He realizado una demostración gráfica de lo que ya había "intuido" anteriormente. Empecemos a hacer un desglose por separado
de PA² y PB².
Las curvas PA² y PB² son curvas de funciones de 2º grado (cuadráticas) en éste caso PARÁBOLAS IDÉNTICAS e indendientemente de el valor de PA, PB o altura inicial A o B en la figura .
La única diferencia es que las curvas pueden estar más o menos a diferente altura en el eje de coordenadas (ver dibujo)
No hay necesidad de dibujar las parábolas, tan sólo hallar 2 puntos importantes para cada curva.
Con ellos podemos conocer el foco, vértice, directriz (parámetro idéntico en las dos), a si como la pendiente (tangente) en un punto determinado de la curva.
No muestro los cálculos gráficos de todos las líneas previas que he hecho por claridad.

He calculado un punto para el valor mínimo de PA² y otro para PB² cuando P está justo debajo (ortogonalmente) de A y B y también otros dos para cuando P se situa en el centro.
Mediante el cálculo de las tangentes en diferentes puntos podemos ver como la función de los términos PA² o PB² crece más o menos rápido su valor en el eje "Y" cuando P se mueve en el eje "X" (la recta r) .
Cuanto más ALEJADO esté un punto en la curva de su vértice respectivo, su PENDIENTE será MÁS PRONUNCIADA y mostrará mayor variación de su valor "Y".
Ésto es muy importante recordarlo.


Para cualquier valor de P en el eje "X" (recta "r") el valor de "Y" se ve reflejado más arriba (donde corta la proyección vertical desde P a la curvas).
No importa lo alto o bajo que este la curva, el valor relativo de Y respecto al vértice respectivo no varía. Ésto ayuda mucho a la demostración.

Cuando P está en el punto medio, vemos que las pendientes son iguales pero de SENTIDO CONTRARIO y seguirán siendo así aunque NO IGUALES, mientras P se encuentre entre las proyecciones de A y B,

Partiendo del centro con un valor concreto de PA²+PB² , no sabemos todavía si es el menor posible :-? , vemos que si desplazamos P hacia la izquierda, el valor PA² está ahora más alto respecto a su vértice de lo que lo está PB² respecto al suyo. PA² tendrá una pendiente más pronunciada que PB².
El valor de Y para PA² aumentará en verdadera magnitud más de lo que PB² pueda disminuir ( también en VM ). Resuldado es que PA²+PB² AUMENTA EL VALOR inicial.
Igualmente si movemos P hacia la derecha; PB² entra en una zona de mayor pendiente, por lo tanto incrementa más en el resultado de lo que pueda disminuir PA² con menos pendiente. Por los tanto, la suma de cuadrados también AUMENTA SU VALOR inicial.
Es decir que si nos movemos del centro hacia los lados, PA²+PB² AUMENTARÁ su valor (independientemente de que PA o PB sean grandes o pequeños).
El término que crece es el que entra en una zona de pendiente más pronunciada y por tanto pondera más en el resultado AUMENTANDO SI O SI el resultado final 8-) .


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Sabiendo que PA²+PB² es también una función cuadrática podemos directamente ir a construir su parábola correspondiente en la
que vemos claramente que P en dicho centro da el valor mínimo para la función:

Imagen


Saludos

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julia segura
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Mensaje: #25622 julia segura
Vie, 26 Jul 2013, 09:34

Hola luisfe:


He realizado el ejercicio analíticamente y el resultado confirma tu intuición. Un saludo

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