Cónica dados 5 puntos

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Superdarco
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Cónica dados 5 puntos

Mensaje: #3051 Superdarco
Jue, 09 Oct 2008, 17:48

¿Alguien conoce y podría explicar un método para dibujar una cónica dados 5 puntos de la misma?

Supongo que se trata de un problema bastante complicado y que la solución se basa en técnicas de proyectividad. Si alguien conoce alguna forma de resolver este problema, le agradecería que fuese tan amable de ilustrarnos

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Antonio Castilla
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Mensaje: #3053 Antonio Castilla
Jue, 09 Oct 2008, 17:52

.
1 - Los puntos dados son A, B, C, D y E.

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2 - Tracemos una circunferencia c' que pase por E-D, teniendo por diámetro la cuerda E-D.

3 - La cuerda común E-D será el eje de homología, y los puntos E y D dobles, o sea confundidos con sus homólogos E' y D'.

4 - Prolongada la cuerda B-C hasta su punto del eje P-P'.

5 - Hallaremos la polar de este punto doble en las dos cónicas. La polar p' en la circunferencia se obtendrá uniendo los puntos de contacto de las tangentes t'1 y t'2 trazadas desde P, y será la cuerda t'-a'-2'. La polar p de P con respecto a la cónica c que se trata de hallar, pasará por a-a', que es un punto doble por ser del eje y, por definición, por el punto X conjugado armónico de P con respecto a B y C, que obtendremos mediante un sencillo cuadrilátero completo, no representado en la figura para no complicarla.

6 - De la misma manera, prolongada la cuerda B-A hasta su punto de encuentro R-R' con el eje de homología, hallaremos de la misma forma las polares r y r' del punto doble R-R'.
El punto Y es conjugado armónico de R con respecto de A y B.

7 - El punto de encuentro M de las polares p y r tendrá como homólogo el punto común de p' y r', que será el punto M'8 (en el gráfico ese 8 es el símbolo de infinito), por ser paralelas p' y r'. Por tanto, el centro O se hallará sobre la recta M-M'8.

8 - Del sistema de homología sólo tenemos ahora el eje y un par de puntos homólogos M-M'8. Necesitamos otro par de puntos. Para obtenerlo, uniremos M con C, por ejemplo, y hallaremos C', situado en la circunferencia y sobre la recta b'-M'8, C', unido con C, nos da también la dirección del centro de homología O, que queda así definido.

9 - El haber elegido E'-D' como diámetro de la circunferencia arbitraria c', nos trae como particularidad el que, siendo el punto M punto homólogo de M'8, pertenecerá a la recta límite del sistema cónica, bastando para que quede determinada mediante sus ejes, terminar de resolver el problema, puesto que sabemos que la cónica transformada será una elipse, por ser L' exterior a la circunferencia c'.

torito78
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Armonico

Mensaje: #27961 torito78
Lun, 24 Feb 2014, 15:17

Como resuelvo el punto armonico X q no aparece dibujado?

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luisfe
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Mensaje: #27980 luisfe
Mar, 25 Feb 2014, 17:39

Por si te sirve de ayuda:
Para hallar los armónicos empleo otro procedimiento que el citado por Antonio, no por que sea mejor ni peor, sino por ofrecer otro método. Si Antonio tiene un rato, imagino te responderá igualmente.
Espero que puedas ver el vídeo .avi. El conversor que tengo no funciona bien.
Saludos.

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