BILLAR TRIANGULAR *

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luisfe
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BILLAR TRIANGULAR *

Mensaje: #25719 luisfe
Mié, 21 Ago 2013, 13:29

Hola. Ahora que tengo un poco más de tiempo libre, propongo jugar al billar.
Tenemos un billar triangular y una sola bola en la banda (lado) AB,
¿Cual es la posición inicial y final de dicha bola, si tras haber rebotado en las otras dos bandas y regresado a la misma posición , hubiera recorrido la menor distancia posible? Razonar la respuesta.
Mañana os subo mi respuesta.

Imagen

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dibutecni
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Mensaje: #25728 dibutecni
Jue, 22 Ago 2013, 02:27

pues supongo que estara en el punto medio del segmento AB

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luisfe
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Mensaje: #25730 luisfe
Jue, 22 Ago 2013, 08:53

:-D Hola. Gracias por participar.
Esa podría ser la respuesta si se tratara de un triángulo equilátero.
Estoy preparando la respuesta para subirla.
Saludos.

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luisfe
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Mensaje: #25731 luisfe
Jue, 22 Ago 2013, 09:21

Hola. Vamos a lío... :roll:
En un primer ensayo probamos a colocar la bola en un punto X del lado AB, por ejemplo, el punto medio de AB como tú dices .
Se nos presenta un problema "fácil" de simétrica que consiste en trazar la trayectoria que necesitará la bola en X para regresar al mismo punto.
Hallamos los simétricos de X respecto a las bandas o lados AB y AC y al unirlos nos proporciona los puntos D y E donde debe de botar la bola.
Pero ¿quién nos dice si ésta puede ser la trayectoria más corta?
Viendo el dibujo vemos que el recorrido (perímetro) de DEX es igual al segmento X'X''(es como ver el triángulo abierto)
ésto va a ser un indicativo importante de la magnitud del recorrido.
Imagen

¿Cómo podemos obtener un segmento X'X'' más corto?
Probemos una segunda vez a colocar la bola X en otra posición (en marrón)
Imagen

:) Parece que algo hemos conseguido ya que se ve a simple vista que el triángulo es
menor, pero ¿quén nos dice que hemos llegado a la trayectoria más corta? :-?
8-) Quedémonos con un punto cualquiera y analicemos.
Imagen

Uniendo los simétricos de X con C obtenemos siempre triángulos isósceles CX'X"semejantes :-o , independientemente de la posición de X.
Tal afirmación se base en:
1º El triángulo CX'X" es isósceles ya que tanto CX' como CX" son reflejos simétricos de CX y son por tanto idénticos.
2º El ángulo X'CX" permanece constante ya que se deduce fácilmente que es el doble del ángulo ACB que es constante.
El triángulo isósceles (semejante) de base X'X" más pequeño que podemos construir será el que tenga sus lados CX' y CX' más pequeños y como éstos son igual a CX concluimos que :idea: :
[spoil]la ALTURA DEL VÉRTICE C dictará la magnitud menor posible para CX y en consecuencia para los lados de nuestro t. isósceles .
El pie de altura de C será entonces el punto buscado y como todo ésto se aplica igualmente a los 3 lados del triángulo, se llega a la conclusión de que:
el triángulo que une los 3 pies de altura es la trayectoria más corta que podemos conseguir,
Este triángulo es el llamado TRIÁNGULO ÓRTICO y una de sus propiedades es la de ser el triángulo inscrito con menor perímetro posible.
Imagen

SOLUCIÓN[/spoil]
Saludos.


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