Transformaciones geométricas, conceptos.

Ejercicios sobre las transformaciones planas.
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Carmen Gimeno
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Transformaciones geométricas, conceptos.

Mensaje: #26013 Carmen Gimeno
Lun, 23 Sep 2013, 18:09

Hola buenas tardes,

Estoy intentando explicar a mis alumnos de 2º de Bachillerato conceptos relacionados con las transformaciones geométricas pero en los libros que consulto todo me parece que está muy confuso. Intento poner orden y me asaltan un montón de dudas como por ejemplo:

- ¿Puedo afirmar que en las transformaciones geométricas sencillas, traslación, giro y homotecia intervienen elementos planos aunque también pueden aplicarse en la G. Descriptiva?

otra duda ...

- "Las transformaciones proyectivas o especiales tienen lugar únicamente en la G. Descriptiva, en la cuál intervienen elementos que tienen una correspondencia proyectiva con otros elementos, es decir, esta correlación se obtiene por medio de operaciones que son las llamadas secciones y proyecciones" ¿Sería esto correcto?


Muchas gracias.

Carmen

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Antonio Castilla
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Mensaje: #26015 Antonio Castilla
Lun, 23 Sep 2013, 22:47

.
Te respondo más o menos de una forma escueta e incompleta (recalco lo de incompleta) por falta de tiempo y porque lo que pides necesitaría de una explicación más amplia.

- ¿Puedo afirmar que en las transformaciones geométricas sencillas, traslación, giro y homotecia intervienen elementos planos aunque también pueden aplicarse en la G. Descriptiva?


a - Debemos diferenciar entre transformaciones y movimientos. De una forma sencilla y sin entrar en detalles, en un movimiento la figura o cuerpo permanece igual solo cambia de posición (giro, simetría y traslación) mientras que en las transformaciones sí cambia su forma (homología, afinidad, homotecia).

b - Decirte que las transformaciones y los movimientos existen entre formas planas y entre elementos tridimensionales.

c - Los transformaciones en geometría descriptiva en bachillerato solo se usan entre elementos planos, aunque estos pueden formar parte de un cuerpo. Por ejemplo (solo algunos de los más conocidos, hay muchos más) :

  • Abatimientos (o desabatimientos), aquí se suele utilizar una afinidad y ambos elementos son planos, la figura contenida en un plano y su abatimiento.
  • Sección a un prisma o cilindro por un plano, aquí también se utiliza una afinidad pero son dos elementos planos los que se relacionan, la sección y la base del cuerpo, luego aunque forman parte de un cuerpo se está trabajando con elementos planos.
  • Sección a una pirámide o cono por un plano, se resuelve con una homología que relaciona la sección con la base del cuerpo. Volvemos a tener dos elementos planos aunque formen parte de un cuerpo.

d - Los movimientos en geometría descriptiva en bachillerato se usan entre elementos planos y no planos. Por ejemplo :

  • Giro, se suele utilizar para colocar cualquier elemento en un posición favorable (una recta horizontal por ejemplo) o para que adopte una posición concreta partiendo de una posición sencilla (por ejemplo dibujar un cubo con una diagonal vertical, se parte de un cubo apoyado en el plano horizontal y después se gira). Luego aquí se giran tanto elementos planos como otros que no lo son.
  • Traslación, se suele utilizar casi sin saberlo, por ejemplo cuando se levanta un prisma o cilindro, primero se dibuja su base y después esta se levanta (traslada) a una distancia igual a su altura. Aunque se puede utilizar tanto para objetos planos como no, en bachillerato solo se suele plantear con objetos planos.

e - Luego intentando responder a tu primera pregunta, sí, las "transformaciones geométricas sencillas" se pueden utilizar en geometría descriptiva.

- "Las transformaciones proyectivas o especiales tienen lugar únicamente en la G. Descriptiva, en la cuál intervienen elementos que tienen una correspondencia proyectiva con otros elementos, es decir, esta correlación se obtiene por medio de operaciones que son las llamadas secciones y proyecciones" ¿Sería esto correcto?

f - Por "transformaciones proyectivas o especiales" imagino que entiendes las transformaciones como la homología, afinidad y homotecia.

g - Afirmas "Las transformaciones proyectivas o especiales tienen lugar únicamente en la G. Descriptiva", lo de "únicamente" no es exacto del todo. Por supuesto sí son utilizadas en geometría descriptiva pero también en geometría plana.

Carmen Gimeno
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Mensaje: #26017 Carmen Gimeno
Mar, 24 Sep 2013, 11:46

Uf! Una vez más me habéis ayudado un montón. Muchas gracias.


Carmen

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Transformaciones geométricas, conceptos.

Mensaje: #26050 Carmen Gimeno
Mié, 25 Sep 2013, 19:34

Hola de nuevo, como ya dije ayer el tema de las transformaciones geométricas me genera muchas dudas, hoy por ejemplo una alumna me ha preguntado si las rectificaciones son transformaciones. Tras un segundo para meditar mi respuesta he llegado a la conclusión de que si lo es, anamórfica, sin embargo creo que para afirmarlo habría primero que determinar en qué lenguaje estamos expresándonos. A veces pongo el ejemplo de una palabra que se escribe y pronuncia igual en dos idiomas diferentes, primero hay que decir qué idioma estamos utilizando para que esa palabra pueda ser correctamente interpretada. Así, la cuestión es si estoy en lo cierto al decir que una rectificación es una transformación anamórfica siempre y cuando se obtenga por los procedimientos adecuados, con una finalidad gráfica y no puramente métrica. Esta sería mi primera pregunta.

Segunda duda, mucho más concreta:
Según el libro de 2º de Bachillerato de la Ed. Donostiarra, edición de 1995, pág. 77 una circunferencia de puntos dobles es aquella que contiene los puntos que son inversos de sí mismos, mi pregunta por tanto es ¿entonces todas son circunferencias de puntos dobles? porque según tengo entendido, dado un centro de inversión y una circunferencia, las recta tangentes exteriores a dicha circunferencia que pasen por C (centro de inversión) determinarán sobre la circunferencia al menos dos puntos dobles ... a no ser que ese centro se encuentre dentro de la circunferencia o coincidiendo con el centro o sobre la misma, claro. No sé, puede ser que me acabe de responder a mí misma en estos instantes.

Bueno, espero no haber embrollado demasiado el tema. Creo que se nota que soy una purista de las definiciones y de las clasificaciones. En un tema tan abstracto creo que es necesario.

Muchas gracias, espero respuesta.

Carmen

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Antonio Castilla
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Mensaje: #26051 Antonio Castilla
Mié, 25 Sep 2013, 22:21

.
El perímetro de un triángulo, por ejemplo, ¿ es una transformación ?. Pues no, es solo la suma de los tres lados, es decir se colocan los lados uno detrás de otro para saber cuanto es la suma pero no se está siguiendo ninguna regla o propiedad que relacione los puntos de los lados con los del perímetro.

Lo mismo ocurre con una rectificación, solo se están colocando los infinitos segmentos o puntos que la forman sobre una recta de tal forma que así nos es más cómodo medir su longitud con una regla graduada. Pero en realidad ni siquiera es necesaria, coge un flexómetro (un metro) o una cinta de sastre y "enróllala" alrededor de la circunferencia y ya tienes su rectificación, es decir, su longitud. No se está "transformando" nada pues no se sigue ninguna regla o propiedad que relacione cada punto de la circunferencia con su homólogo en la rectificación.


Para la segunda cuestión me he liado un poco. Pero creo que quieres decir ¿ qué si todas las circunferencias son dobles ?. Pues no, y tú misma te has respondido.

Aunque a cualquier circunferencia se le puede hallar un par de tangentes desde el centro de inversión y esto nos da dos puntos dobles (que pertenecen a la circunferencia doble) solo son dos puntos (los de tangencia) de esa circunferencia los que son dobles y no todos. Para que fuera una circunferencia doble deben de ser dobles todos los puntos de la circunferencia y no solo dos.

Por otro lado, que el centro de la circunferencia coincida con el centro de inversión no la convierte en doble, solo en el caso de su radio sea igual a la raíz cuadrada del valor de la potencia, en ese caso es la circunferencia de autoinversión.

Existe una circunferencia que sí es doble (sin ser la de autoinversión) y es aquella cuya potencia respecto del centro de inversión sea igual a la potencia de inversión, aunque en ese caso la circunferencia es doble pero sus puntos no.

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Mensaje: #26052 Carmen Gimeno
Jue, 26 Sep 2013, 12:50

Entonces en el caso en que la figura inversa de una circunferencia es una recta ¿no se pueden establecer relaciones métricas?

Y por otro lado, ¿podrías ponerme algún ejemplo de circunferencia de puntos dobles? ¿es cuando el centro de inversión está sobre la misma?

Carmen Gimeno
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Mensaje: #26058 Carmen Gimeno
Jue, 26 Sep 2013, 18:02

Matizo mi primera pregunta del correo anterior,

me refiero a si es posible establecer una relación métrica de igualdad entre un arco de circunferencia y su segmento transformado.

Con respecto a mi pregunta sobre la circunferencia de puntos dobles, si, ya lo he entendido, será aquella cuyo centro de inversión coincida con el centro de dicha circunferencia.

Poco a poco voy viendo la luz ... gracias.

Carmen

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Antonio Castilla
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Mensaje: #26062 Antonio Castilla
Vie, 27 Sep 2013, 19:28

.
No entiendo lo de la "relación de igualdad". La relación más evidente y rápida es la de que el centro de inversión, un punto del arco y su inverso sobre el segmento están alineados.

Respecto de las circunferencias que hablas no sé si estás mezclando conceptos. Verás, no es lo mismo "circunferencia de puntos dobles" que "circunferencia doble". Te lo comento.

Propiedades de la circunferencia de puntos dobles:
  1. La circunferencia de puntos dobles también es conocida como c.p.d. o circunferencia de autoinversión (la llamaré así desde ahora para evitar confusiones).
  2. La circunferencia de autoinversión tiene todos sus puntos dobles. Eso significa que un punto y su inverso son coincidentes (o están uno "encima" del otro).
  3. La inversa de la circunferencia de autoinversión es ella misma (una está "encima" de la otra).
  4. La circunferencia de autoinversión es única.
  5. El centro de la circunferencia de autoinversión es el centro de inversión (o polo).
  6. El radio de la circunferencia de autoinversión es la raíz cuadrada del valor de la potencia de inversión.
  7. La circunferencia de inversión es una forma de expresar gráficamente el valor de la potencia de inversión, y por tanto es un elemento esencial para definir la inversión, aunque no imprescindible.
  8. La circunferencia de autoinversión se utiliza para calcular los inversos de cada punto.


Propiedades de una circunferencia doble:
  1. Una circunferencia doble tiene su inversa coincidente (una "encima" de la otra).
  2. Una circunferencia doble solo tiene dos puntos dobles, todos los demás no lo son. Esto quiere decir que si desde el centro de inversión se traza una línea esta corta a la circunferencia doble en dos puntos distintos, cada uno de esos puntos es inverso del otro pero no coinciden (no son dobles).
  3. Una circunferencia doble siempre corta a la circunferencia de autoinversión en dos puntos (los dos únicos puntos de la circunferencia doble que sí son dobles).
  4. Existen infinitas circunferencias dobles.
  5. El radio de una circunferencia doble puede ser cualquier cantidad.
  6. Los centros de las circunferencias dobles están siempre en las tangentes a la circunferencia de autoinversión y radio hasta el punto de tangencia.
  7. La potencia de una circunferencia doble respecto del centro de inversión es igual al valor de la potencia de inversión.
  8. Las circunferencias dobles se utilizan para calcular el inverso de un punto sin necesidad de conocer el valor de la potencia de inversión ni la circunferencia de autoinversión (que es lo mismo).

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Transformaciones geométricas, conceptos.

Mensaje: #26069 Carmen Gimeno
Dom, 29 Sep 2013, 11:24

Hola de nuevo,

Si, efectivamente estoy mezclando conceptos, por eso me cuesta tanto de entender probablemente. No lo he visto explicado tan claramente como tú me lo explicas en ningún libro. Todos están llenos de verdades a medias que a poco que quieras profundizar lo único que aportan son más dudas de las que despejan.

En cuanto a mi pregunta de si la rectificación de una circunferencia puede considerarse una transformación o no ... dicho con otras palabras, trataba de encontrar algún caso particular (que supusiera la excepción) que confirmara la regla de que sí que puede tratarse de una transformación. Si, ya sé que me comentaste que no, y tal vez yo estoy rizando el rizo pero había pensado que si tal vez dado un arco de circunferencia y un segmento, y con unas condiciones concretísimas en cuanto al valor de la potencia de inversión y el centro de inversión situado en un lugar determinado, no podría ser que el arco y el segmento tuvieran la misma longitud (se trataría entonces de una transformación anamórfica e isométrica). Esto era lo que quería decir.

Con respecto a los conceptos de circunferencia de autoinversión y la circunferencia de puntos dobles, me queda claro ahora hasta el apartado f de las propiedades de una circunferencia doble. A partir de ahí me pierdo. ¿Tiene esto que ver con el ejercicio de obtener las rectas tangentes a una circunferencia y que pasan por un punto exterior? He tratado de poner este ejemplo en clase para que los alumnos entendieran el concepto de inversión con una aplicación que para ellos resulta familiar y comprensible, pero no sé si he logrado convencerlos. Tal vez con más casos prácticos lo entenderíamos todos mejor. Hasta ahora mis clases de dibujo parecen más clases de filosofía. ¿Explicas tú a nivel tan conceptual estas cuestiones en 2º de Bachillerato? Para mí es necesario profundizar pero no sé si esto a ellos les beneficia.

Gracias otra vez. Tus explicaciones me son de gran ayuda. Si sabes de algún buen libro también me vendría bien.

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Mensaje: #26082 Antonio Castilla
Dom, 29 Sep 2013, 23:57

.
Con relación a las "verdades a medias" de los libros tienes razón. Aunque he de exculparlos un poco pues muchas veces tienen que explicar un tema en cuatro párrafos y eso no da para extenderse mucho y aunque no quieran no tienen más remedio que "comerse" algo o casi todo.

Respecto de relacionar la rectificación de un circunferencia mediante una inversión es imposible. Recuerda que una circunferencia que pasa por el centro de inversión se transforma en una recta, pero en una recta infinita. Lógicamente la longitud de la circunferencia no es infinita luego lo que obtenemos por inversión no es la rectificación de la circunferencia.

Por otro lado, la tangente a una circunferencia desde un punto exterior no se basa directamente en un inversión, es algo más simple como la aplicación de un arco capaz o incluso con la potencia de una circunferencia.

Respecto de si es necesario profundizar más para alumnos de bachillerato te diré que solo lo necesario para sus necesidades.
Yo estoy en Andalucía y, hasta ahora, el objetivo era la selectividad y como en ella no se incluía la inversión entonces lo normal es que la mayoría de los profesores ni la nombrasen (aunque muchos lo hacían por desconocimiento).
La aplicación de la inversión al trazado de circunferencias tangentes se hacía aprendiendo los métodos paso a paso sin ni tan siquiera saber qué era una inversión o simplemente no se daban porque no se pedían en selectividad. Así que nunca la he tenido que explicar a ese nivel.

Ahora bien, que no sea necesario por "exigencias del guión" no es una razón para que el profesor la desconozca, de hecho yo considero imprescindible su conocimiento e inexcusable su ignorancia.

Por último me pides una recomendación de un libro, te diré que ninguno y todos.
Yo también sigo buscando ese libro que me lo explique todo completo y claro, aun no lo he encontrado (que no digo que no lo haya). Lo poco que yo sé sobre el tema no lo encontré en un libro sino en varios. De cada uno aprendía una cosa que en los otros no venía y juntando de aquí y de allí logré un cierto entendimiento de la materia.

Puedes consultar nuestra bibliografía de dibujo en http://trazoide.com/temas-dibujo/libros-de-dibujo.html
Además de tres recomendaciones que muchos olvidan a la hora de aprender. Dibujar, dibujar y dibujar. Cada propiedad, cada teorema, cada caso, cada particularidad, cada gráfico, cada problema lo debe de dibujar uno mismo, nunca leerlo y creérselo.


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