Inscribir un cuadrado en el romboide A, B, C, D (conocidos los vértices A, B y C del romboide) *

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Inscribir un cuadrado en el romboide A, B, C, D (conocidos los vértices A, B y C del romboide) *

Mensaje: #26078 avd
Dom, 29 Sep 2013, 18:54

Inscribir un cuadrado en el romboide A, B, C, D.

DATOS: vértices A, B y C del romboide.

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luisfe
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cuadrado inscrito en romboide (paralelogramo)

Mensaje: #26087 luisfe
Lun, 30 Sep 2013, 19:04

Hola.
Parece fácil jaja.
Te mostraré lo que he improvisado y lo digo así por que seguro que se pueden optimizar cositas.
Pero lo más importante es pillar el concepto.

Lo he hecho aplicando varios métodos:
1) Por arcos capaces, método que se acercará más seguramente a lo académico.
2) Por lugar geométrico + homotecia:
éste último, curioso método que "recicla" un cuadrado que en principio no promete nada, para luego reconvertirse en un señor cuadrado al que poder aplicar la homotecia. Todavía estoy depurando su construcción, la subiré más adelante.

Método ARCOS CAPACES:
Completamos el romboide ABCD por paralelas.
Dibujamos un cuadrado anexo y construimos 3 arcos capaces.
2 de los ángulos del romboide y un 3º que es el formado por la línea
que conecta el vértice A con el centro del romboide y con la bisectriz de Aº (w).
En el cuadrado anexo el soporte de dicho arco capaz es el segmento OW.
W es donde corta la mediatriz con su arco capaz BAC.
aquí el vértice A es el cruce de éste último arco con el arco capaz de BAC.

El segmento que desde A pasando por el punto 1 (vértice del cuadrado) corta al arco capaz ABC en B.
representa las proporciones que tenemos que llevar al romboide dado ABCD (Tales) para determinar
los puntos de contacto del cuadrado inscrito.
Saludos


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Última edición por luisfe el Lun, 07 Oct 2013, 16:47, editado 2 veces en total.

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luisfe
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Mensaje: #26088 luisfe
Lun, 30 Sep 2013, 20:14

Método por lugar geométrico y homotecia.
Terminamos de construir el paralelogramo ABCD
Dibujamos un cuadrado cualquiera inscrito en 2 lados.. Aquí comenzamos por el punto E.
Lo inscribimos en un nuevo romboide llevando paralelas a éste por los otros vértices.
Marcamos el punto 1 en el cruce de ambas paralelas o vértice del nuevo romboide.
Se trata de utilizar homotecia, pero el nuevo romboide no es semejante a ABCD y aún no podemos.
Análogamente, dibujamos otro cuadrado desde E obteniendo un punto 2 de forma análoga.
La unión (recta lg) del punto 1 y 2 es el lugar geométrico de uno de los vértices (aquí D) de los romboides que suscriben a los cuadrados dibujados desde el punto E. pero mejor será observar el dibujo para entenderlo mejor.

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Donde se cruza lg con una de las diagonales del romboide tenemos el punto D', punto de partida para dibujar un romboide semejante al dado ABCD.
Hallamos su cuadrado inscrito (o parte de el) desde E igualmente y con centro en el vértice B (centro de homotecia) lo proyectamos sobre ABCD.
Para inscribir el cuadrado he utilizado el método de giro.

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Aplicando homotecia:
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Se puede optimizar el trazado bastante, quedando todo el trazado así (aunque según escribo veo maneras
de optimizar aún más).
Saludos.

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NOTA: Ésta técnica se puede utilizar para inscribir un cuadrado en cualquier cuadrilatero, siempre que sea posible. La realización siguiente es un poco diferente pero se basa en el mismo concepto.

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Última edición por luisfe el Vie, 11 Oct 2013, 09:09, editado 1 vez en total.

avd
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Mensaje: #26095 avd
Mar, 01 Oct 2013, 14:17

Muchísimas gracias

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luisfe
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Mensaje: #28990 luisfe
Mar, 03 Jun 2014, 00:06

Hola.
He recuperado este post, para añadir la solución más simple que se puede dar para éste caso y para beneficio de los
que lean éste hilo en el futuro.
La solución la apuntado Julianst para un rectángulo inscrito, pero para el caso del cuadrado es aún más fácil.


Julianst dijo:
"También se puede hacer por giros. El centro de giro es el centro del paralelogramo y el ángulo que forman las diagonales es el ángulo de giro. Al girar un lado del paralelogramo con las condiciones anteriores se corta con el otro lado en el vértice pedido".

Efectivamente, viendo la solución observamos que si giramos un vértice (apoyado en un lado del paralelogramo) se corresponde con otro vértice en el lado adyacente. El ángulo de giro entre uno y otro vértice es obviamente el ángulo entre diagonales del cuadrado (90). Al girar el lado, giramos todos sus puntos, pero el que nos interesa es el que corta con el lado adyacente.
Vuelvo a agradecer a Julianst su colaboración.

Saludos

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