Dados los puntos A y B dibujar la elipse que los contiene y cuyos ejes coinciden con las rectas r y s, respectivamente *

Ejercicios sobre elipses, hipérbolas y parábolas.
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avd
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Dados los puntos A y B dibujar la elipse que los contiene y cuyos ejes coinciden con las rectas r y s, respectivamente *

Mensaje: #26381 avd
Lun, 14 Oct 2013, 22:40

Dados los puntos A y B dibujar la elipse que los contiene y cuyos ejes coinciden con las rectas r y s, respectivamente.

DATOS: rectas r y s ortogonales y puntos A y B exteriores a ellas.

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luisfe
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Mensaje: #26393 luisfe
Mar, 15 Oct 2013, 20:45

Hola.
Lo único que se me ocurre ahora es utilizar homología para éste ejercicio, lo cual es un tanto laborioso, a parte de que debo de recordar algunas cositas, todo se olvida si no lo ejercitas.
Imagino que con los ejes dados se puede simplificar algo. Intentaré dar una solución en un rato (largo).
Saludos

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luisfe
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Mensaje: #26396 luisfe
Mar, 15 Oct 2013, 22:44

He empleado HOMOLOGÍA, puede que exista una forma mejor, pero bueno... me ha servido de repaso.

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Tendrás que buscar en el índice como obtener una elipse a partir de
5 puntos por homología a partir de rectas polares; el resultado es una homología definida por
su centro , eje y un par de homólogos. Además, el procedimiento se simplifica algo debido a que disponemos
de las rectas de los ejes.
Luego estudiar como se obtienen los ejes de la elipse a partir de una
homología definida, necesitarás obtener las rectas límite.
El procedimiento que he seguido entonces es:
Hallar el simétrico de A respecto de la recta "r" = punto C
El simétrico de C respecto de "s" sería D.
la recta por CD es el eje de homología (paralela a "r")
dibuja una circunferencia c' diámetro CD (será lo homologa de la elipse)

La recta AB (únelos) corta al eje en M.
Halla el conjugado de de M respecto de A y B (cuaterna armónica) = N
Halla el conjugado de de M respecto de C y D = P
La recta NP cortará a la recta "s" en Q (Por aquí pasa la recta límite RL)
la recta AQ corta al eje en R.
traza la perpendicular desde Q hasta cortar en A' en la circunferencia c'
(hemos unido en realidad R con Q' en el infinito para obtener A' en la circunferencia)
Une los homólogos AA' que cortarán a "s" en V (centro de homología)

Ya tenemos la homología definida como para poder continuar y hallar los ejes de la elipse:
el eje. un par de homólogos AA' (a parte de QQ') y el centro homología V.
Ahora necesitamos hallar los ejes de la elipse a partir de aquí.
Aquí también se simplifica la cosa por disponer de la rectas de los ejes.
Halla la recta límite RL': Distancias iguales desde Q (o RL) al eje que desde V a la RL' .
Desde W corte de "s" con RL' halla el punto tangente T. La recta VT cortará a "r" en E (he simplificado)
(extremo del eje mayor de la elipse), su simétrico respecto al centro O será el punto F.
Para G y H tengo que dar un`pequeño rodeo.
Traza una paralela a "r" por G' (en c').
La recta A'M cortara a la paralela en Z'
Une Z' con V que cortará AB en Z
Por Z paralela a "r" que corta a "s" en G (extremo eje menor)
¡Puff! me ha llevado más tiempo explicar los pasos que pensarlo.
Añado unas observaciones:
La recta NP es polar de M respecto a la elipse, es decir marcaría en la elipse los puntos de tangencia desde M .
Por P perpendicularmente al eje (rojo) pasaría la recta polar de M respecto de la circunferencia c'.
Ambas polares NP y la perpendicular por P ¡son homólogas!, premisa importante para seguir estableciendo más puntos homólogos.
El punto Q donde se juntan las polares de la elipse tiene su homólogo en el infinito puesto que
las polares de la circunferencia son paralelas (y se juntan en el infinito)
El punto Q es un polo, siendo el eje CD su recta polar respecto de la elipse.
Adjunto una animación del ejercicio:



Para el caso de la hipérbola que planteaste en otro post tendríamos que hacer algo similar.
Saludos

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Mensaje: #28263 luisfe
Dom, 23 Mar 2014, 21:46

Hola.
He ojeado éste tema de nuevo y enseguida me he dado cuenta, como me imaginaba, de que tenía que haber una forma más sencilla de hallar
la elipse. Bueno... lo anterior, me sirvió para repasar conceptos, que nunca viene mal.
Mediante afinidad y puntos conjugados tenemos lo siguiente:
R es conjugado armónico de S respecto de P y Q.
Una animación:



Saludos

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