seis circunferencias de antisimilitud

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YoliPocket
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seis circunferencias de antisimilitud

Mensaje: #28252 YoliPocket
Jue, 20 Mar 2014, 21:27

[font=Arial]Dadas tres circunferencias con un punto en común y sus seis circunferencias de antisimilitud (Una circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias es una circunferencia respecto a la cual las dos son mutuamente inversas.) , siempre pueden invertirse en un triángulo y sus bisectrices.
COSAS QUE PUEDEN SERVIR Que cualesquiera 3 circunferencias se pueden invertir en otras 3 cuyos centros son colineales, que una circunferencia de antisimilitud (autoinversa) de dos circunferencias concéntricas es concéntrica, que si un par de circunferencias tienen dos circunferencias de antisimilitud, entonces éstas últimas son ortogonales.
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luisfe
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Mensaje: #28254 luisfe
Vie, 21 Mar 2014, 18:07

:loco: Guau. Lo que estamos aprendiendo contigo. Se agradece. :bien:
Por si te interesa, la circunferencia de antisimilitud la he utilizado para un tema de ÁNGULOS.
Hace poco contesté a una pregunta de HOMOLOGÍA en la que empleo dicha circunferencia como lugar geométrico desde la que
puedo formar ángulos iguales a 2 parejas de puntos colineales, ése ángulo es variable a lo largo de la circunferencia pero observo las
dos parejas de puntos con idéntico ángulo.
La otra circunferencia que llamas de similitud, la suelo emplear como lugar geométrico desde el que puedo formar triángulos en los que permaneciendo 2 vértices (B y C) fijos y A moviéndose por dicha circunferencia, la relación entre los lados b y c permanece constante (b/c=K)

Saludos.

YoliPocket
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Mensaje: #28255 YoliPocket
Sab, 22 Mar 2014, 02:26

Tengo una idea de cómo hacerlo pero no sé bien cómo ilustrar el dibujo. Sabemos efectivamente que 3 circunferencias que se cortan, se pueden invertir en un triángulo (me parece que el centro de inversión sería el punto en donde las tres circunferencias se cortan, no? no estoy muy segura de eso... pero creo que sí) Porque en esta página de hecho viene cómo invertir un triángulo, y el inverso de un triángulo son 3 circunferencias, bueno... 3 arcos, más bien. Como dices, una circunferencia de antisimilitud conserva ángulos. Por ejemplo, si tenemos una circunferencia C1 que es inversa con una circunferencia C2, en donde ambas se intersecan en D y E. Y sea C3 (la circunferencia azul) la de antisimilitud (o sea, la de inversión) sabemos que tiene que pasar por D y E. También sabemos que el ángulo entre C3 y C1 es el mismo que el ángulo entre C1 y C3. Ahora si invertimos con respecto a una circunferencia de centro en D, tenemos que la inversa de C1 o sea C1' se va en una recta y la inversa de C2' se va en otra recta, y ambas se cortan en D (que vendría siendo el punto con respecto al que estamos invirtiendo). Y la inversa de la circunferencia de antisimilitud (la azul) se va en la recta azul que también pasa por D. Y como la inversión conserva ángulos, entonces la recta azul (la inversa de C de antisimilitud) es bisectriz de C1' y C2'. De esto sabemos que es bisectriz, pero no sé cómo unir la información D: ni cómo dibujar lo que te pide el problema xD
Imagen
PD: Mi dibujo está mal hecho xd sólo lo hice para facilitar mi explicación.

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luisfe
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Mensaje: #28257 luisfe
Sab, 22 Mar 2014, 09:39

Hola.
Te confirmo que efectivamente el centro de tal inversión es el punto común entre las circunferencias, el valor que sea.
Las inversas de las circunferencias con el punto en común serán los lados del triángulo y las inversas de las circunferencias de antisimilitud serían las bisectrices respectivas. Es fácil dibujar las inversas ( lados y bisectrices del triángulo) , dibujando por ejemplo, una circunferencia de inversión centrada en el punto común y que interseque al resto de circunferencias (las 6), a continuación hacer pasar una recta (6 rectas) por los puntos de cruce.
También es importante lo de la conservación de ángulos en la inversión, de otra manera, ésto no funcionaría.
Un método para hallar los centros de las circunferencias de antisimilitud sería trazando las bisectrices de los ángulos entre centros.
Pro otra parte, los centros de homotecia (positivo y negativo) de las dos circunferencias O1 y O2 también son los
centros de las circs. de antisimilitud A1 y A2 y de radio hasta el/ los puntos de cruce de ambas circunferencias.
inversión dibujar circ antisimilitud  mediante bisectrices.png

Triángulo y sus bisectrices, sólo he dibujado una bisectriz:
inversión 6 circunferencias dibujar  circ antisimilitud triángulo y bisectrices.png

Saludos.

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luisfe
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Mensaje: #28259 luisfe
Dom, 23 Mar 2014, 09:37

Hola.
He tenido un rato para añadir unos apuntes más
Saludos.

YoliPocket
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Mensaje: #28264 YoliPocket
Lun, 24 Mar 2014, 01:54

En tu dibujo cuál es el triángulo que se formó?

YoliPocket
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Mensaje: #28265 YoliPocket
Lun, 24 Mar 2014, 02:23

¿Y por qué 3 circunferencias pueden tener 6 circunferencias de similitud? jiji

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fernandore
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Mensaje: #28266 fernandore
Lun, 24 Mar 2014, 05:28

YoliPocket escribió:¿Y por qué 3 circunferencias pueden tener 6 circunferencias de similitud? jiji


Si te fijas bien luisfe ya te ha contestado cuando te dice "Las inversas de las circunferencias con el punto en común serán los lados del triángulo y las inversas de las circunferencias de antisimilitud serían las bisectrices respectivas".

Observa q hay 6 bisectrices en un triangulo,3 interiores y 3 exteriores

Salu2

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luisfe
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Mensaje: #28267 luisfe
Lun, 24 Mar 2014, 07:34

Hola.
Perdonad, pero no se lo que ha pasado con mi dibujo del triángulo que se forma tras la inversión. ¡ha desaparecido!
Intentaré recuperarlo. Gracias Fernandore por echarme un cable con el asunto.
No puedo detenerme ahora en más explicaciones, me voy al curro....y ya veo a mi jefe "en jarras". ¡ uyuiyui!
Saludos

YoliPocket
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Mensaje: #28270 YoliPocket
Mar, 25 Mar 2014, 02:37

Y perdoname a mí por hacer esa pregunta tonta xD Jajajaa es que no todas las circunferencias tienen dos circunferencias de antisimilitud, por lo general tienen una. Y lo que preguntaba es que cómo se sabía que esas sí tenían el par de circunferencias de antisimilitud. Pero esas más bien eran dudas existenciales, porque el problema dice que "dadas 3 circunferencias, y sus 6 de antisimilitud".... no "demuestre que 3 circunferencias tienen 6 de antisimilitud" jajaja :P y lo del triángulo inverso quedó claro! (;


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