triángulo dado el punto donde corta el diámetro de la circunscrita *

Ejercicios sobre polígonos y proporcionalidad.
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triángulo dado el punto donde corta el diámetro de la circunscrita *

Mensaje: #28912 Operating system
Mié, 28 May 2014, 08:16

Encontrar el vértice A del triángulo ABC dados los vértices B y C, el ángulo B y el punto D donde el diámetro de la circunferencia circunscrita que pasa por A corta al lado BC.

alguna idea? porfavor gracias de antemano

Imagen

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Seroig
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Mensaje: #28932 Seroig
Jue, 29 May 2014, 15:13

Adjunto "mi" solución al problema, confieso que he vuelto a hacer trampas.

Circuncentro
Situamos el triangulo en un sistema de coordenadas cartesianas de forma que el punto medio de la base coincida

Imagen
con el origen, figura 1, llamamos "m" a la tangente del ángulo ABC , las coordenadas de los puntos se pueden observar en la figura. Los lados AB y AD tendrán de ecuaciones respectivamente:
Imagen , Imagen
Siendo su intersección el vértice A,
Imagen

Este vértice debe estar situado en la circunferencia de ecuación
Imagen

Entonces la distancia del centro de la circunferencia circunscrita al punto medio de la dase será
Imagen

Que escrito de otra forma, para poder resolver gráficamente
Imagen

De donde, para poder efectuar los gráficos paso a paso hacemos
Imagen

Siendo:
Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

En la figura 2 detalle para la determinación de los 5 segmentos en función de "m"
Imagen

En el segmento AB de valor "a/2" tenemos las distancias AC=b/4, AD=a/4-b/4 y AE=a/4. El ángulo BAF el ángulo dado del enunciado(ABC) y los ángulos BAG y BAH complementarios de ABC
Imagen


En las figuras 3 y 4 por teorema del cateto construcción de Imagen y Imagen

Imagen

En la figura 5 por los teoremas de Pitágoras y del cateto determinación de Imagen

Terminando con la figura 6 las dos soluciones de la situación del centro
Seroig

julianst
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Mensaje: #28938 julianst
Vie, 30 May 2014, 07:52

Se puede hacer también con un arco capaz del segmento DC de 90-B puesto que pasa por el vértice A. Hay que tener en cuenta que la altuta Ha y el diámetro mencionado en el enunciado, son isogonales con los lados b y c.
Saludos

Seroig
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Mensaje: #28940 Seroig
Vie, 30 May 2014, 10:50

Bien Julianst :muy_bueno: yo me he pasado :no:
Saludos

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luisfe
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Mensaje: #28950 luisfe
Vie, 30 May 2014, 22:49

Bonito ejercicio!
Felicitaciones a los dos.
Gran trabajo de Seroig; interesante para aquellos que quieran avanzar en el análisis matemático de los problemas geométricos.
La solución de Julianst es elegante y sencilla, brillante.
He realizado una animación de ésta última solución con el permiso de Julianst (espero que no te importe) como anexo a las utilísimas explicaciones proporcionadas por el.



Saludos.

Imágenes alternativas :

Imagen

Imagen

Seroig
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Mensaje: #28956 Seroig
Sab, 31 May 2014, 08:00

... y la segunda solución

Imagen
Saludos

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luisfe
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Mensaje: #28958 luisfe
Sab, 31 May 2014, 08:49

Cierto Seroig. Esa solución la contemplé y de hecho modifiqué el ejercicio anoche bastante tarde después de que Antonio hiciera sus
bienvenidos arreglos, pero como saben los usuarios de mongge, el programa no te deja editar o aparecen los cambios no se sabe cuando, así que si aparecen dichos cambios, no te sorprendas.
Gracias de todos modos es importante que quede reflejado.
Saludos

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fernandore
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Mensaje: #28969 fernandore
Sab, 31 May 2014, 11:58

A mi se me ha ocurrido una resolucion mediante homotecia.No es tan elegante como la de julian pero puede valer :bien:

El trazado comienza situando un lado C'A' de longitud arbitraria y aplicando un arco capaz del angulo B dado.
Luegos buscamos en el arco capaz,la cuerda cuya proporcion C'D' y D'B' este en la misma proporcion q CD y DB dada.


Imagen



Salu2

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luisfe
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Mensaje: #28974 luisfe
Dom, 01 Jun 2014, 15:41

:bien: Fernandore

Seroig
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Mensaje: #28976 Seroig
Dom, 01 Jun 2014, 16:16

Para Fermandore, lo mismo opino :bien:
Saludos


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