Cuerdas de circunferencia que al pasar por punto quedan divididas en partes proporcionales a 1 y 2 *

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sgs34
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Cuerdas de circunferencia que al pasar por punto quedan divididas en partes proporcionales a 1 y 2 *

Mensaje: #29442 sgs34
Lun, 04 Ago 2014, 13:02

Hola, me he quedado a medias en este ejercicio, a ver si me podríais ayudar. El enunciado dice así:

Dados la circunferencia y el punto, se pide:
- Dibujar las cuerdas que, pasando por el punto P, quedan divididas por éste en partes proporcionales a 1 y 2.
- El problema admite 2 soluciones debido a la simetría del conjunto. Determínese a qué distancia debiera situarse el punto P del centro para que los 2 segmentos solución fueran perpendiculares entre sí.

El primer apartado lo he resuelto planteando una circunferencia que cortase a la circunferencia dada en 2 puntos tal que al unirlos con el punto P dado obtuviese las cuerdas solución. El radio y la situación del centro de esta nueva circunferencia lo he hallado planteando una homotecia de razón -2.
Sin embargo, no sé como empezar con el segundo apartado.

Gracias de antemano.

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luisfe
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Mensaje: #29443 luisfe
Lun, 04 Ago 2014, 15:12

Hola.
Con el boceto en papel y cabeza, pienso que debes de crear una circunferencia cualquiera con cuerdas (45º) respecto a la unnón de un punto P' con su centro que quede dividida en la relación 1 a 2 como indica el problema.
Como sabes que la circunferencia homotética que corta a la dada debe ser 1/2 o el doble (según lo hayas hecho), aumenta por homotecia la circunferencia cualquiera que esbozaste al tamaño requerido (1/2 en tu caso).
Luego la llevas a la circunferencia del problema por traslación creo. Seguramente me he expresado de pena, más tarde voy a ver si puedo preparar el dibujo.
Saludos

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luisfe
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Mensaje: #29444 luisfe
Lun, 04 Ago 2014, 17:05

Aquí tienes una animación de la idea:



Saludos

Imágenes alternativas :

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Seroig
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Mensaje: #29445 Seroig
Lun, 04 Ago 2014, 21:16

Con permiso de Luisfe, adjunto unos gráficos para la segunda parte
El primero, para el caso particular de 90º, dado el circulo

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El segundo, determinación del radio según longitud de la cuerda, para cualquier ángulo y proporción, continuando por proporción de radios, dado y hallado
Saludos

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luisfe
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Mensaje: #29446 luisfe
Lun, 04 Ago 2014, 21:36

Seroig: Permiso todo el del mundo :-D
Si, en el caso de ángulo recto también había visto una relación sencilla matemático/geométrica por expresarlo de alguna manera.
De todas maneras, imagino que lo que quiere o lo que le piden a nuestro amigo sgs34, es utilizar homotecia u otras herramientas clásicas para la hallar la solución del ejercicio, que por cierto, se pueden emplear
igualmente para otros ángulos y proporciones (esto último se lo digo a sgs34)
Muy interesante no obstante la solución que propones para el caso particular :bien: .
El general, pienso que es muy similar a lo que muestro anteriormente en la animación (tu reflejas y yo lo hago en un sólo segmento con el ángulo adecuado).
Saludos

julianst
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Mensaje: #29715 julianst
Dom, 14 Sep 2014, 21:53

Hola:
Uno de los métodos de Petersen es el del problema contrario y se puede aplicar a la segunda parte de este ejercicio. Consiste en partir de una solución semejante y asignarle su figura homóloga de la dada, con lo cual, se obtiene un dibujo semejante a la solución.
Saludos,

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