Circunferencia ortogonal a recta r y a circunferencia c que pasa por P *

Ejercicios sobre potencia o circunferencias.
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sgs34
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Circunferencia ortogonal a recta r y a circunferencia c que pasa por P *

Mensaje: #29463 sgs34
Vie, 08 Ago 2014, 10:03

Hola, tengo unas dudas sobre un ejercicio, a ver si podéis echarme una mano con el. El ejercicio dice así:
Dadas la recta r, la circunferencia c y el punto P se pide:
-1) Dibujar la circunferencia ortogonal a r y a c que pasa por P
También se propone una variante del ejercicio:
-2) Dibujar la circunferencia de radio más pequeño ortogonal a c y tangente a r que pasa por P
.

1) Sé que para que la circunferencia solución sea ortogonal a r, su centro deberá estar en esta, por tanto r es el l.g. de los centros solución
Si el centro de la circunferencia está en r y esta pasa por P, también pasará por el simétrico de P con respecto a la circunferencia.
Se me ha ocurrido intentarlo por potencia, puesto que P y su simétrico me dan un eje radical del haz de circunferencias que pasan por ellos y
tienen centro en r.
Además, haciendo una circunferencia auxiliar con centro en r que pase por P obtendría de su intersección con la circunferencia
dada otro eje radical. La intersección de ambos ejes radicales me daría el centro radical. A partir de aquí no sé como seguir.

2) He intentado abordar el ejercicio por inversión, tomando la circunferencia dada como circunferencia de puntos dobles, así la circunferencia solución, que será ortogonal a la dada, será inversa de sí misma. También he hallado el inverso del punto P y he hecho la mediatriz del segmento que los une, en la cual estará el centro (pues la circunferencia que pasa por un punto y su inverso es inversa de sí misma, y por tanto ortogonal a la circ. de puntos dobles). Aquí me he quedado

Adjunto una foto del enunciado. Espero que me haya expresado bien.
Un saludo y gracias.

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sgs34
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Mensaje: #29464 sgs34
Vie, 08 Ago 2014, 10:13

Hola,
Se me olvidó comentar que el apartado 1 (circunferencia ortogonal a recta y a circunferencia) lo he resuelto por inversión (adjunto una imagen), pero me gustaría saber si también se podría hacer por potencia.
Con respecto al procedimiento por inversión no estoy muy seguro de si es correcto, pues para obtener la solución he invertido la circunferencia y el punto, pero no la recta. ¿Cuando aplico inversión debo invertir todos los elementos, verdad?
Un saludo

sgs34
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Mensaje: #29465 sgs34
Vie, 08 Ago 2014, 10:20

apartado 1 por inversión.

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luisfe
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Mensaje: #29467 luisfe
Vie, 08 Ago 2014, 14:31

Sabemos que la solución por ser ortogonal a la circunferencia es por tanto inversa doble respecto a la dada y sabes que tu recta es la de centros, con esto lo tienes todo.
No te hace falta invertir la recta, si la inviertes, se transforma en una circunferencia a la que tu solución debe cortar ortogonalmente, de ahí podrías tener información
para prescindir de tu recta (de centros) para hallar la solución, pero para que complicarte la vida.
Por Potencia, aplica el mismo criterio también que te mostré hace unos días en éste enlace. Eje radical punto-circunferencia que cortará a la recta dada (centros) en el centro solución.
potencia/dados-puntos-circunferencia-dibujar-circunferencia-que-pasa-por-ortogonal-t9375.html

En el caso de tener que ser tangente a la recta y ortogonal a la circunferencia, Se puede elegir como centro de inversión el punto.
Tendrás que invertir tanto la circunferencia dada como la recta. A éstas dos transformadas dibuja una recta s' por ejemplo, que pase por el centro
de la circunferencia dada (transformada en sí misma) y tangente a a la otra transformada. La inversa de ésta recta s' será la circunferencia solución ([b]existen 2 soluciones)[/b].
DIBUJO DE DICHA INVERSIÓN:
circunferencia ortogonal circ y tangente a recta INVERSIÓN.png


Otra opción de inversión, podría ser que la circunferencia dada fuera la de inversión, puede que sea igual o más sencillo, tendría que detenerme un poco más en esto.
Asumo que ya conoces algunos procedimientos.

Se me olvidaba...en el caso de querer hacer esto último por Potencia también puedes.
Saludos

sgs34
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Circunferencia ortogonal a recta r y a circunferencia c

Mensaje: #29478 sgs34
Mié, 13 Ago 2014, 14:24

Muchísimas gracias por la ayuda :)


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