Tetraedro y esfera circunscrita *

Ejercicios del sistema diédrico o de Monge.
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geonestor
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Tetraedro y esfera circunscrita *

Mensaje: #29572 geonestor
Vie, 29 Ago 2014, 07:41

Buenas, este problema me tocó en un examen y no supe hacerlo a ver si podríais ayudarme. Escribo el enunciado por si en la foto no se ve bien:
El triángulo ABC de la figura es la cara inferior de un tetraedro cuyo vértice D se encuentra a mayor cota.Dibujar dicho poliedro y la esfera circunscrita al mismo, así como la sección por el plano que contiene a la cada BCD indicando el centro, ejes, diámetros, etc. de las proyecciones de la sección de la esfera y sus puntos de tangencia con el contorno aparente.


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Bueno como veis consigo hacer el tetraedro, que es la parte fácil, pero cuando llego a la parte de la esfera no tengo ni idea de como seguir y claro no puedo avanzar en el ejercicio porque necesito la esfera para realizar la sección que te piden posteriormente.

Gracias.

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vincent
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Tetraedro y esfera circunscrita

Mensaje: #29575 vincent
Vie, 29 Ago 2014, 16:58

Geonestor, el dibujo que adjuntas no está muy nítido, pero da la impresión que has forzado el trazado de la circunferencia (contorno de la esfera) para que pase por las proyecciones de los vértices, y eso no será así en la mayoría de los planteamientos.
Yo lo he resuelto con ayuda de un cambio de plano vertical para situar de canto el plano de la cara BCD. En esa misma proyección auxiliar verás la altura del tetraedro y la sección como un segmento.
Deshaciendo el cambio de plano obtendrás la elipse en proyección horizontal definida por ejes reales, siendo los puntos de tangencia con el contorno las proyecciones r y s.
Subiendo estos ejes a la proyección vertical obtendrías una pareja de ejes conjugados no reales, pero definen la elipse. (no te incluyo la obtención de ejes reales también en el alzado para no alargar los trazados). Los puntos de tangencia con el contorno del alzado son las proyecciones d´y e´.
Si tienes alguna duda, aquí me tienes para aclararla.

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geonestor
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Mensaje: #29579 geonestor
Sab, 30 Ago 2014, 09:32

Muchas gracias, me ha servido mucho para saber como se resuelve. Una duda,al pasar del cambio de plano a la proyección horizontal los puntos ¿como sabes cual es la distancia de "m" a "r" o "s"? ¿es la misma que de "m" a "e"?

geonestor
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Mensaje: #29581 geonestor
Sab, 30 Ago 2014, 11:26

por cierto ¿podría poner como pasas de los ejes confugados a los reales? es que al pasarlos un lado del eje mayor de la elipse se me va fuera de la esfera y eso no es posible.

vincent
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Tetraedro y esfera circunscrita

Mensaje: #29584 vincent
Sab, 30 Ago 2014, 13:40

Vamos por partes:
Al deshacer el cambio de plano, las proyecciones d, m y e se obtienen directamente sobre la línea media, definiéndose el eje menor de la elipse. Los extremos del eje mayor de esta elipse (que no les puse letras) se obtienen llevando el radio de la sección a cada lado de m, pues debes saber algo fundamental: "El eje mayor de una elipse es de igual longitud que el diámetro de la circunferencia que proyectas".
Las proyecciones r y s, que definen la tangencia en la proyección horizontal, se obtienen a partir de la proyección auxiliar mediante una línea paralela a la L.T. (imaginaria en este dibujo) donde corta al plano de la sección.
La elipse del alzado la dibujé con AutoCAD a partir de los ejes conjugados, pero existen varios métodos para obtener los reales a partir de los conjugados. De todos modos te diré que una pareja de ejes conjugados determinan la elipse perfectamente. Si tu deseo es obtener más puntos para dibujarla con más precisión, te voy a dar un truquillo: la recta frontal del plano cortante que pasa por el centro m contendría en la proyección vertical al eje mayor, cuya dimensión es igual al diámetro de la sección. Con todos esos puntos tienes más que suficiente para dibujar la elipse.

geonestor
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Mensaje: #29585 geonestor
Sab, 30 Ago 2014, 14:17

Muchas gracias, sin duda explicación de 10, todas las dudas resueltas.

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Antonio Castilla
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Mensaje: #29586 Antonio Castilla
Sab, 30 Ago 2014, 15:20

.
Aparte de lo que te ha explicado Vincent también puedes consultar esto http://trazoide.com/seccionplano_008.html

geonestor
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Mensaje: #29589 geonestor
Sab, 30 Ago 2014, 17:26

Muchas gracias, si se hallar la sección de una esfera cortada por un plano, el problema es que con diédrico directo me lio, me quitan la linea de tierra y ya me pierdo :oops: .


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