punto interno de un triángulo de distancias a cada vértice en una proporción

Ejercicios sobre polígonos y proporcionalidad.
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umagapal
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punto interno de un triángulo de distancias a cada vértice en una proporción

Mensaje: #29698 umagapal
Jue, 11 Sep 2014, 15:36

Dado un triángulo ABC, encontrar el punto interno O, el cual tiene de distancias a cada vértice en una proporción de las longitudes a los lados opuestos, por ejemplo OA/BC=OB/CA=OC/AB.

El problema es que se me hace complicado comprender las proporciones, así que les agradecería cualquier ayuda.
Gracias.
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luisfe
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Mensaje: #29702 luisfe
Jue, 11 Sep 2014, 22:05

Hola.
Yo creo que utilizando 2 circunferencias, las llamadas "circunferencias de Apolonio" lo tendríamos.
Mírate algo por ahí respecto a dichas circunferencias.
De momento te ofrezco ésta ayuda gráfica no tengo tiempo para más. Espero que no te desanime lo enrevesado del dibujo aunque no dudo que se pueda acortar más aprovechando líneas existentes... algo es algo.
También existiría un punto externo que cumpliría los requisitos.
Animo a otros a que se sumen al problema y den una visión distinta, que seguro que la hay, yo por mi parte dejo aquí el tema
Saludos.
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Seroig
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Mensaje: #29704 Seroig
Vie, 12 Sep 2014, 07:37

Recojo la oferta de Luisfe y aporto mi granito de arena haciendo lo mismo que él.
La relación que deseas OA/BC=OB/AC, es "simétrica" a OA/AC=OB/BC, intercambiando los numeradores o los denominadores, que escrito de otra forma es AC/BC=OA/OB
Esta relación es la de la cuaterna armónica AD/BD=EA/EB, puntos de corte D y E de las bisectrices interior y exterior y los vértices. La circunferencia de diámetro DE es la circunferencia de Apolonio, como apunta Luisfe, lugar geométrico de puntos cuya relación de distancias a los vértices A y B es constante e igual a "b/a". Y nosotros deseamos "a/b"
Entonces basta trazar su circunferencia simétrica respecto a la mediatriz de AB, de rojo
Repetimos el proceso con otro lado
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Saludos

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luisfe
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Mensaje: #29706 luisfe
Vie, 12 Sep 2014, 12:03

Seroig: Aposté 100 $ a que te ibas a referir a lo de las bisectrices. :-D
¡Un abrazo!.

Seroig
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Mensaje: #29707 Seroig
Vie, 12 Sep 2014, 12:19

Y yo que creía que esperabas que lo liara a mi manera... :lol:
Saludos!

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luisfe
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Mensaje: #29708 luisfe
Vie, 12 Sep 2014, 12:28

Seroig: todavía estás a tiempo de "liarla" y encontrar un método que no requiera tanto "papel", ¡Un toque de ecología por favor! :lol:
;tuve que someter al triángulo original del ejercicio a un dieta especial para no perder de vista los puntos importantes.
NOTA: Agradecemos mucho tus "lios" y tus contribuciones.
!Saludos!

umagapal
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Mensaje: #29709 umagapal
Vie, 12 Sep 2014, 18:13

formidable, sois increibles, muchas gracias


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