Circunferencia tangentes a dos lados de un triángulo y otra circunferencia

Ejercicios sobre tangencias y enlaces de circunferencias.
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rujimenez
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Circunferencia tangentes a dos lados de un triángulo y otra circunferencia

Mensaje: #30816 rujimenez
Jue, 12 Mar 2015, 18:23

Hola:

Necesito resolver el siguiente problema. Dado un triángulo cualquiera construimos una circunferencia tangente a dos de sus lados, después tenemos que construir otra circunferencia tangente a dos lados distintos del triángulo y tangente a la primera circunferencia.

La primera parte es fácil. Hago la bisectriz de dos lados del triángulo, escojo un punto cualquiera de la bisectriz, perpendicular a un lado del triángulo y que pase por el punto elegido y ya tenemos la circunferencia.

El problema viene al intentar construir la segunda circunferencia, que es tangente a dos lados del triángulo y a la circunferencia anterior.

He visto en varias páginas un procedimiento general para calcular la circunferencia tangente a dos rectas dadas y a una circunferencia dada, pero ese método no es válido cuando la circunferencia dada es tangente a las rectas.

¿Alguien me puede ayudar a realizar esta construcción?

Disculpad si la pregunta ya estuviera resuelta en otro post.

Saludos.

Rubén.

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luisfe
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Mensaje: #30817 luisfe
Jue, 12 Mar 2015, 18:59

¿Has probado homotecia? . Primero dilatas las rectas y aplicas homotecia. Esa sería una opción sencilla.
Ciao!

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Antonio Castilla
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Mensaje: #30818 Antonio Castilla
Jue, 12 Mar 2015, 19:03

.
Otra forma :

Primero dibuja dos rectas paralelas a las dadas separadas una distancia igual al radio de la circunferencia.

Ya has reducido el problema a dos rectas (las paralelas) y a un punto (el centro de la circunferencia).

A partir de ahí lo puedes resolver por potencia como explico en este vídeo https://www.youtube.com/watch?v=dpKV0bTskWo

rujimenez
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Mensaje: #30821 rujimenez
Jue, 12 Mar 2015, 21:59

He estado viendo detenidamente el vídeo e intentado hacerlo como me indicas en el último mensaje. Tengo el problema reducido a hallar las circunferencias tangentes a dos rectas dadas y un punto P, ¿pero cómo se hace si el punto P pertenece a la bisectriz de las dos rectas?

El procedimiento lo tengo claro si P no pertenece a la bisectriz: simétrico de P respecto a la bisectriz, circunferencia auxiliar con centro en un punto cualquiera de la bisectriz y que pase por P y su simétrico, recta que pasa por P y P' y que corta a una de las rectas del enunciado (será el eje radical), etc.

El problema que tengo es que en mi problema el punto P está sobre la bisectriz de las dos rectas y no consigo dibujar las circunferencias tangentes a las dos rectas y a P.

Perdonad por ser tan pesado.

Saludos.

Rubén.

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luisfe
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Mensaje: #30822 luisfe
Jue, 12 Mar 2015, 23:05

Si el punto P pertenece a la bisectriz, creo que estamos hablando de que la 1º circunferencia es la cric. inscrita creo yo, con lo que resulta aún más sencillo.
la perpendicular a la bisectriz te marcaría en la recta dilatada el CR. Entonces por Potencia sería:
Ciao!
Adjuntos
triángulo.png
triángulo.png (34.9 KiB) Visto 274 veces

rujimenez
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Mensaje: #30823 rujimenez
Jue, 12 Mar 2015, 23:08

Ya lo he conseguido.

Para resolver lo que os planteaba, al estar P, en la bisectriz, no puedo calcular le simétrico de P respecto a la bisectriz, pero cogiendo directamente la perpendicular de la bisectriz que pasa por P y cogiendo la intersección de la recta original con esta última creada obtengo el centro radical.

Muchas gracias por vuestra ayuda.

Saludos.

Rubén.

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luisfe
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Mensaje: #30824 luisfe
Jue, 12 Mar 2015, 23:15

Por HOMOTECIA también puedes:
triángulo homotecia.png
triángulo homotecia.png (29.33 KiB) Visto 272 veces

Y añado una curiosidad por INVERSIÓN:
TANGENCIA 2 CIRCUNFERENCIAS TRIÁNGULO INVERSIÓN.png
TANGENCIA 2 CIRCUNFERENCIAS TRIÁNGULO INVERSIÓN.png (34.4 KiB) Visto 239 veces


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