seccion cuadrada de un tetraedro

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pilarltelenti
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seccion cuadrada de un tetraedro

Mensaje: #31028 pilarltelenti
Jue, 16 Abr 2015, 07:21

Hola,
varios manuales me hablan de las secciones particulares de un tetraedro por unos planos en particular. En concreto, me dicen que si un tetraedro es cortado por un plano paralelo a dos aristas opuestas que pasa por su centro, la sección es un cuadrado.cuando el tetraedro apoya una arista en el plano horizontal lo veo con claridad, pero no así cuando es una de sus caras la que está sobre el plano.En la página uno618, que usa geogebra para visualizarlo, también parece bastante claro, pues el plano paralelo a las aristas resulta ser un proyectante:
Nombre.jpg
Nombre.jpg (15.74 KiB) Visto 352 veces

Mi problema es que cuando coloco el tetraedro en otra posición, sin que una arista sea perpendicular a la L.T., la sección no es cuadrada:
seccion cuadrada.jpg
seccion cuadrada.jpg (145.55 KiB) Visto 352 veces

No sé si cometo el error desde el principio, pues yo tomo como opuestas las aristas que no tienen ningún punto en común,en mi dibujo AC y DB ¿son siempre perpendiculares entre si? Después hago un plano paralelo a dos rectas que pasa por un punto, el centro del tetraedro, que es el centro de su sección principal, y obtengo el plano oblicuo que al seccionar el tetraedro me da un cuadrilátero que no cuadrado cuando lo abato.
En fin, que le doy vueltas y no le veo el error/errores, que lo habrá. Muchas gracias de antemano, cuando más me meto en esto menos idea parece que tengo, :-o .

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Antonio Castilla
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Mensaje: #31029 Antonio Castilla
Jue, 16 Abr 2015, 08:41

.
Empecemos por tu dibujo :

- La traza horizontal del plano y la proyección horizontal de AC no son paralelas, en tu dibujo, cuando sí debían serlo.

- La traza horizontal del plano no es perpendicular a la unión de los puntos medios de AC y BV, y debería serlo.

- La traza horizontal del plano no está pasando por los puntos medios de las aristas AB y AC, cuando sí deberían pasar.

- El plano debería de pasar por el centro del tetraedro y el tuyo no lo hace.

Como ves es imposible que te dé un cuadrado. Esos comentarios son sobre tu dibujo en particular, que es una posición concreta, no son válidos para todas las posiciones.


Vamos a repasar algunos conceptos (que son válidos para cualquier posición) :

  1. Hay varias formas de hallar el centro del tetraedro :
    1. El centro del tetraedro está donde se cortan las alturas principales. Luego si unes un vértice del tetraedro con el baricentro de su cara opuesta tienes una altura principal. Si repites con otro vértice y su baricentro opuesto tienes una segunda altura. Donde se corten las dos tienes el centro del tetraedro.
    2. El centro del tetraedro está a 1/4 de la altura principal medida desde la cara. Luego une un vértice con el baricentro de su cara opuesta. Divide esa altura en cuatro partes iguales. El extremo del cuarto que está en contacto con la cara es el centro del tetraedro.
    3. El centro del tetraedro está en el punto de corte de las mínimas distancias entre aristas. Une los puntos medios de dos aristas opuestas. Repite con las otras dos. Donde se corten es el centro del tetraedro.
    4. El centro del tetraedro está en el punto medio de la distancia mínima entre aristas. Une los puntos medios de dos aristas opuestas y halla su punto medio. Ahí está el centro del tetraedro.
  2. Respecto de la sección cuadrada :
    1. La longitud de los lados del cuadrado es igual a la mitad de la longitud de las aristas del tetraedro.
    2. Los vértices del cuadrado están sobre los puntos medios de las aristas a las que no es paralelo el cuadrado.
    3. El centro del cuadrado es el centro del tetraedro.
    4. Los lados del cuadrado son paralelos a las aristas opuestas que no contienen a los vértices del cuadrado.
    5. El cuadrado es perpendicular a la mínima distancia entre aristas, de las aristas a las que es paralelo, y pasa por su punto medio.
    6. La diagonal del cuadrado mide lo mismo que la mínima distancia entre aristas del tetraedro.
  3. Para hallar el plano que da una sección cuadrada hay varias formas :
    1. Por el centro del tetraedro trazar paralelas a dos aristas opuestas. Esas dos rectas forman el plano (en diédrico directo) y/o hallar las trazas de las rectas para determinar las trazas del plano (en diedro clásico).
    2. Por el centro del tetraedro dibujar un plano perpendicular a la mínima distancia entre dos aristas opuestas.
    3. Unir directamente los puntos medios de las aristas que no son paralelas al cuadrado.

Seguro que se me olvida algo más, pero creo que con todo eso tienes suficiente para empezar.

Te recuerdo que las proporciones (1/2, 1/3, 1/4 , etc.) se conservan en diédrico. Por lo tanto cuando se dice que hay que hallar 1/4, por ejemplo, se puede realizar directamente sobre cualquier proyección aunque su longitud real esté deformada.

pilarltelenti
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Mensaje: #31033 pilarltelenti
Jue, 16 Abr 2015, 16:39

Gracias!
Creo que ya detecté mi error. Al colocar el centro del tetraedro en su proyección vertical, lo hice mal. Usé para hallarlo la sección principal, es decir, la primera opción que me indicas, pero en lugar de tomar para la cota la distancia desde el pie de la altura, lo hice desde el pie de la arista :no:
Lo que me llamaba la atención era la manera de dibujar un plano paralelo a dos rectas por el centro haciendo cada traza paralela una de las proyecciones de las rectas (tampoco entendía el criterio para hacer qué traza paralela a qué recta o si eso era indistinto).Dado que paralelismo entre recta y plano no se ve de manera directa en diédrico ¿por qué se hace aquí de esta manera? Yo haciendo dos rectas paralelas a las trazas opuestas que pasen por el centro lo obtengo bien (ahora que ya coloqué el centro en su sitio), pero esta forma es más sencilla.
Gracias de nuevo

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Antonio Castilla
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Mensaje: #31036 Antonio Castilla
Jue, 16 Abr 2015, 20:00

.
Estas utilizando el término "traza" cuando quieres decir "proyección", o eso creo entender, porque si no tiene poco sentido.

Como bien dices, las trazas de un plano no tienen porqué ser paralelas a las proyecciones de una recta. Pero el caso que has dibujado es especial.

Quieres hacer un plano que sea paralelo a la arista AC, que está en el plano horizontal de proyección, y la traza horizontal del plano también está en el plano horizontal de proyección. La traza de un plano no es más que una recta de un plano, un poco especial pero una recta al fin y al cabo. Como la arista AC es una recta (un segmento en realidad) y la traza del plano también es una recta, sus proyecciones sí deben de ser paralelas ya que entre rectas sí se conserva el paralelismo. Pero eso solo ocurre en este caso y con esa arista.

pilarltelenti
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Mensaje: #31038 pilarltelenti
Jue, 16 Abr 2015, 20:31

No, cuando hablo de trazas hablo del plano y cuando hablo de proyecciones son de las rectas.
¿Elijo hacer la traza de mi plano paralelo a AC paralelo a la proyección horizontal de la recta/segmento AC por que ésta está en el plano horizontal?¿es por eso que no elijo aquí la proyección horizontal de AC y bno la de DB, a quien también debe ser paralelo el plano? :confuso:
Yo sólo sabía que para que un plano sea paralelo a una recta , tan solo debe contener a una recta paralela a la primera. En este caso, a las dos y además pasar por el centro.
A mi me salió así usando dos rectas paralelas a las aristas opuestas que se cortaban en el centro del tetraedro.
IMG_4949.JPG
IMG_4949.JPG (351.28 KiB) Visto 312 veces

Gracias :muy_bueno:

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Antonio Castilla
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Mensaje: #31043 Antonio Castilla
Jue, 16 Abr 2015, 22:58

.
Hay hasta tres secciones cuadradas e iguales en un tetraedro dependiendo de que dos aristas opuestas se elija utilizar.

El que decidas utilizar una u otra es una decisión personal, siendo la más cómoda, accesible o clara la que se elige.

pilarltelenti
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Mensaje: #31048 pilarltelenti
Vie, 17 Abr 2015, 15:19

Ya. La elección a la que me refería era a la de qué traza hacer paralela a qué proyección. Creo que lo he entendido, escojo hacer la traza horizontal paralela a la arista que está sobre el plano horizontal porque es más cómodo para trabajar.
Gracias!


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