Elipse inscrita en circunferencia conocidos 4 puntos simétricos.

Ejercicios sobre elipses, hipérbolas y parábolas.
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Antonio Briones
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Elipse inscrita en circunferencia conocidos 4 puntos simétricos.

Mensaje: #31536 Antonio Briones
Jue, 17 Sep 2015, 20:41

Hola. Se me plantea el problema que se explica en el adjunto. Me da la sensación de que no debe ser muy difícil de resolver; pero no me sale (las elipses solución que muestro en gris están trazadas a ojo).
Gracias.
Adjuntos
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Seroig
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Mensaje: #31538 Seroig
Vie, 18 Sep 2015, 09:21

De momento...
Trazamos la elipse de focos A, A' tangente a la circunferencia, igualmente la de focos B, B', la intersección de las dos elipses son los focos de las deseadas.
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Saludos

Antonio Briones
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Mensaje: #31539 Antonio Briones
Vie, 18 Sep 2015, 16:32

¡Oh, qué bella sencillez! Gracias.

Seroig
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Mensaje: #31540 Seroig
Sab, 19 Sep 2015, 09:51

A pesar de tu comentario de "¡Oh, qué bella sencillez!" soy consciente de que este método es difícilmente abordable de forma exacta con regla y compas, gracias.
Mi comentario empezaba por "De momento..." con la esperanza de poder aportar algo mas con la ayuda de la analítica, si bien analíticamente lo tengo resuelto, sigo con el "de momento". Su "traducción gráfica", como diría Fermat, "no cabe en el margen"
Saludos

Antonio Briones
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Mensaje: #31544 Antonio Briones
Lun, 21 Sep 2015, 10:25

Me encantaría tener una mente analítica; pero me mareo con el álgebra, aunque valoro extraordinariamente el saber calcular. Yo soy más de la cuerda de Jakob Steiner. Y, en general, un buen aficionado a trazar... y eso con bastantes limitaciones teóricas.
Gracias.

Seroig
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Mensaje: #31546 Seroig
Mar, 22 Sep 2015, 06:13

Esta sí creo que cabe en el margen. Recordando tu problema de la esfera inscrita en el cubo se me ha ocurrido atajarlo por analítica del espacio, resultando bastante asequible.
Para eliminar un parámetro, trazo el diámetro que pasa por el punto "B", podemos considerar el dibujo como una esfera con un punto "A" sobre su superficie y otro "B" sobre su ecuador, la elipse deseada seria la representación del circulo máximo que pasa por "A" y "B", el problema se reduce a situar los vértices "C" de la elipse, pues el trazado de la elipse dados los vértices y un punto no tiene dificultad.
Analíticamente calculo el plano que pasa por "A", "B" y "O", la recta intersección con el plano del meridiano de 90-270 es el eje mayor de la elipse.
Supongo que podrás hacerlo por proyecciones de forma más simple que mi "traducción" geométrica.
Sobre una circunferencia de diámetro el radio de la dada, traslado los segmentos "OD" y "OE" consiguiendo los segmentos "PD" y "PE". Prolongando "OA" hasta la perpendicular del radio en el polo "P" tenemos el punto "F"
Elipse1.bmp
Elipse1.bmp (607.47 KiB) Visto 274 veces

Con "PD", "PE" y la abscisa de "B" por Tales obtenemos el segmento "c".
Con el radio de la circunferencia, la ordenada de "A" y el segmento "c" por Tales obtenemos el segmento "d" que situamos a partir del punto "F" paralelamente al ecuador.
Uniendo el otro extremo "H" con el centro "O", al cortar los meridianos de 90 y 270 en "C", nos sitúa el eje mayor de la elipse.
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Saludos

Antonio Briones
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Mensaje: #31549 Antonio Briones
Vie, 25 Sep 2015, 13:59

¡Hermosa complicación!
Deduzco que OE=OB y que D es la intersección de PA con la circunferencia pequeña.
Tal vez el problema podría titularse: "Elipse inscrita en circunferencia que pasa por 2 puntos cualesquiera y cuyo eje mayor es igual al diámetro de la misma".
Gracias de nuevo.

Seroig
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Mensaje: #31550 Seroig
Vie, 25 Sep 2015, 15:26

Efectivamente OE=OB, de la misma forma OD=OA, adjunto imagen del detalle, interesa el segmento PD para aplicar Tales.
Detalle.bmp
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Saludos

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Mensaje: #31551 Antonio Briones
Vie, 25 Sep 2015, 17:55

Sí. Perfecto. Me ha salido. Gracias. Voy a plantear algún que otro problema sobre elipses, que no logro solucionar. Seguro que ud. podrá dar con la tecla, visto lo visto.

Seroig
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Mensaje: #32115 Seroig
Lun, 29 Feb 2016, 21:12

Con un poco mas de tranquilidad los dos grafico, uno para cada solución,
Tal como propuse en mi anterior comentario, imagino los puntos A y B en la superficie de una esfera, con permiso de los profesionales de las proyecciones, dibujo los puntos en los planos x=0, y=0, z=0
Y por tales (a-x)/d=(b-y)/e=c/f calculo las coordenadas (x,y,0) del punto por donde pasa el eje mayor
Elipse1.bmp
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Elipse2.bmp
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