Triángulo ABC dados el lado a, angulo con que se ve el lado a desde el incentro, y el area de un rectangulo.

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Triángulo ABC dados el lado a, angulo con que se ve el lado a desde el incentro, y el area de un rectangulo.

Mensaje: #31578 msg
Mar, 13 Oct 2015, 12:18

Hola, no sé resolver este ejercicio:

Construir un triángulo ABC, dado el lado a= 5cm, desde el incentro del triangulo se ve el lado a bajo un ángulo de 130º. El área de un rectángulo cuyos lados son la suma la diferencia de los otros dos lados del triángulo ABC vale 5cm2. El lado b>c.

Yo he conseguido obtener el lugar geométrico donde se sitúa el vértice a, pero nada más.

Muchas Gracias.

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Seroig
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Mensaje: #31585 Seroig
Mié, 14 Oct 2015, 19:47

En la primera figura los arcos capaces, que según comentas sin problemas para dibujarlos.
La construcción es a partir de la deducción analítica, teorema de senos, propiedades de las proporciones, transformación de suma de senos en producto y ángulo suma. Si deseas los detalles no tengo inconveniente en preparar un adjunto.
Triángulo.bmp
Triángulo.bmp (1.03 MiB) Visto 147 veces

Por la relación "área/a2=1/5", en la segunda figura, construido el ángulo A del arco capaz lo colocamos sobre el lado "a", dividimos la perpendicular DE en 5 partes iguales, la paralela que corta al arco en F nos determina el ángulo "B-C"
En la tercera figura, B es la mitad de 180-A+(B-C)
Y en la cuarta, sobre el arco capaz.
Saludos

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Mensaje: #31587 msg
Jue, 15 Oct 2015, 11:09

Muchísimas gracias, yo había encontrado una solución con el siguiente razonamiento (no se si será correcto).

Como me dan el área del rectángulo de lados (b+c) y (b-c), tengo que A=(b+c)(b-c)=b2-c2. Con esto obtengo el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados a dos puntos fijos, B y C, es constante, en este caso 5cm2. El vértice A, es un punto de ese lugar geométrico, dicho L.G es una recta perpendicular que dista de Ma (punto medio de BC) k2/2a.

Por otro lado, dan como dato que desde el incentro se ve el segmento BC con un ángulo de 130º, considerando el triángulo BIC, siendo I el incentro se tiene que: B/2+C/2+130º=180, luego, B/2+C/2=50º. Considerando ahora el triángulo ABC, A+B+C=180º, sustituyendo la ecuación anterior en esta, se tiene que A=80º. Por lo tanto trazando el arco capaz de 80º corta a la perpendicular del lugar geométrico en A.

Espero haberme expresado bien, y que me digáis si el razonamiento es correcto. Muchísimas gracias

Seroig
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Mensaje: #31588 Seroig
Jue, 15 Oct 2015, 14:14

Efectivamente el LG. es la recta perpendicular a "a" en k/2a, es fácil de ver analíticamente, y yo como de costumbre matando moscas a cañonazos.
El arco capaz de "A" es correcta tu deducción analítica, como también simplemente, después de situar cualquier punto incentro conocido el arco capaz, doblando los ángulos, o también por tangentes a una supuesta circunferencia inscrita, las rectas se cortaran en un punto del arco capaz de "A"
Saludos

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Mensaje: #31589 msg
Jue, 15 Oct 2015, 18:52

GRACIAS!


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