triángulo

[paunasi]

triángulo dado el lado (54) el ángulo opuesto (45) y la bisectriz del ángulo (37)

[MENSAJE]

[PuturrúdeFuá]

Hay que tener en cuenta la propiedad de que la mediatriz de un lado y la bisectriz del ángulo opuesto se cortan en un punto que pertenece a la circa circunscrita al triángulo.

Una vez logrado ese punto X, la mediatriz de AX y la perpendicular al lado a en el pie Ma de la mediana, fijarán en su intersección el centro de la circa circunscrita y por tanto los vértices B y C.

Espero te sirva

Una solución mas completa esta mas abajo http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=7856#p7856

[Antonio Castilla]

.

1. Triángulo conociendo una mediana, la bisectriz y la altura del mismo lado
2. Triángulo conociendo un lado, el ángulo opuesto y su bisectriz
3. Triángulo conocida una altura, la bisectriz y la mediana
4. Triángulo conocida una altura, la bisectriz y la mediana
5. Triángulo conocido un vértice, el baricentro y el pie de la bisectriz del ángulo de ese mismo vértice
6. Triángulo conocida la bisectriz y los segmentos en los que divide esta al lado opuesto

[Thales]

PuturrúdeFuá Respondió: Hay que tener en cuenta la propiedad de que la mediatriz de un lado y la bisectriz del ángulo opuesto se cortan en un punto que pertenece a la circa circunscrita al triángulo.

Una vez logrado ese punto X, la mediatriz de AX y la perpendicular al lado a en el pie Ma de la mediana, fijarán en su intersección el centro de la circa circunscrita y por tanto los vértices B y C.

En la pregunta de Paunasi los datos son: triángulo dado el lado (54) el ángulo opuesto (45) y la bisectriz del ángulo (37)
Es decir, que los vértices B y C ya los conocemos, porque son los extremos del lado A. Lo que desconocemos es dónde situar el vértice A.
Sí es cierto que hay que utilizar el punto X, que es donde la mediatriz del lado a intersecciona a la circunferencia. Pero en mi opinión lo que debemos aplicar es la relación entre XA, XC y wa (la bisectriz).

[barbi]

Hola, lo que dice Ávalon es casi correcto. Creo que o no lo he entendido bien o falta algo.
A ver si es esto:
1.- Trazas el arco capaz de 45º sobre el lado a que tiene en sus extremos los vértices B y C. El arco capaz es al mismo tiempo la circunferencia circunscrita.
2.- Prolongas la mediatriz de a en dirección opuesta al ángulo hasta cortar el arco capaz en un punto M .
3.- Centras en M con radio = a la bisectriz y defines A en la circunferencia (dos posibilidades).

Salu2.

[Thales]

Como decía en el otro post, el comienzo es correcto (el mismo que has indicado tú).
Una vez efectuados esos pasos, tenemos una circunferencia (la trazada mediante el arco capaz), un lado BC (que es una cuerda de la circunferencia), y un punto M (que es la intersección entre la mediatriz de BC con la circunferencia).

El error que cometes es utilizar el punto M como centro de un arco de radio la medida de la bisectriz.
Cuando nos dan la medida de una bisectriz, lo que nos dan es la medida que va desde el vértice hasta la intersección del lado opuesto (que, por supuesto, no se encuentra en la circunferencia circunscrita).

Para hallar la distancia MA (es decir, la que hay desde M hasta el vértice A), podemos hacer una construcción aparte, en la que dibujamos una circunferencia de diámetro igual a la medida de la bisectriz, y un segmento de medida MC perpendicular a este diámetro. La distancia que hay desde M hasta el lado opuesto de la circunferencia es el dato que nos falta. Voy a ver si puedo poner un dibujo que lo explique (el que pongo tiene como datos: ángulo A=65º, lado a=48mm. y wa=32mm.):


Un saludo.

[barbi]

Hola,
bueno, entonces Rodriguz Abajo, Taibo, Asensi, Corbella, etc..deben estar equivocados porque miden la extensión de la bisectriz
interior de un triángulo, desde el vertice hasta la intersección de circunferencia circunscrita, o por lo menos así lo explican.
Habrá que revisar algunas cosas.
Salu2.

[Thales]

Hola, Barbi.

No, no tendrían por qué estar equivocados...si realmente estuviesen utilizando la convención de nomenclatura que mencionas.
En geométrico ocurre muchas veces que se toma una convención (como por ejemplo, el orden de las letras al nombrar un triángulo, el uso de según qué tipo de letras para nombrar según qué elementos...), que no es aceptada por todos los autores. Mejor sería decir que no es usada constantemente por todos los autores (si quieres ampliar la información, busca referencias a la importancia y necesidad de los cinco tipos de axiomas, sobre todo los axiomas de ordenación, en los que se abordan las nociones de sentido y signo. Hay en este apartado una dialéctica constante entre los movimientos revisionistas y los anteriores).
Ocurre así que a veces se utilizan distintas convenciones, incluso en un mismo libro o en un mismo autor, para referirse al mismo elemento.

Pero no creo que sea lo que sucede en este caso. No sé en qué libro has leído que los autores citados utilizan la convención que mencionas. En los que yo tengo (ahora mismo tengo ante mí el manual de dibujo geométrico y croquización de Rodríguez de Abajo y Victor Álvarez Bengoa) todos los autores utilizan la convención de nomenclatura de cevianas a las líneas notables de un triángulo. Incluso podría citarte de memoria otro de los usos que le da Izquierdo Asensi en uno de sus textos, cuando en el tema de la proporción habla de las cuaternas armónicas determinadas por las bisectrices de un ángulo y sus lados, con la definición exacta de bisectriz como ceviana.

Para explicarlo, comencemos por decir que las bisectrices realmente son rectas (no segmentos), que se prolongan a ambos lados del ángulo al que pertenecen. Pero cuando acotamos esas rectas en un segmento, debemos tomar una convención. Podría utilizarse la que mencionas, pero si te fijas, en todos los casos que hablamos de rectas notables del triángulo las definimos por cevianas (líneas que unen un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto). Así, la mediana es una ceviana, al igual que la altura. Es lógico pues que se adopte la medida de la bisectriz como la de una ceviana más, tomando como valor de su longitud el comprendido entre el vértice y el punto de corte del lado opuesto.

Si quieres ver otra aplicación del uso de la bisectriz, como consecuencia de su definición como ceviana, no tienes más que ver la resolución del ejercicio Dibujar un triángulo dada la mediana de a, la bisectriz de a y la altura en a, en este mismo foro http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=137&p=389#p386. Precísamente es el sistema utilizado por todos los autores que mencionas en tu post, utilizando como medida del segmento bisectriz la medida de la ceviana correspondiente.

Como ves, no se trata de revisar algunas cosas, sino de ampliar conocimientos y fijarse más.

Salu3 (ó 4).

[barbi]

Hola Thales, muchas gracias por tú amable aclaración, veo que haces honor a tú nombre. Estoy perfectamente de acuerdo contigo respecto a la construcción de la cuaterna armónica aplicando el teorema de Ceva y Menelao, pero no pensé que fuera este el caso.
Procuraré que mi ignorancia disminuya su magnitud y ampliaré conocimientos.
Saludos.

[Thales]

Todos debemos ampliar conocimientos. Después de tantos años de enseñar en bachiller (o COU, como se llamaba anteriormente), hay un montón de conceptos que acabo olvidando, por no usarlos, y otros que no estudio, por no necesitarlos. El resultado es que cada vez mis conocimientos se reducen más a lo básico para mis necesidades. Por lo que he hablado con otros compañeros, es algo común.

Por eso páginas como esta son tan importantes.En ellas nuestros estudiantes pueden acceder a los conocimientos de manera autónoma y además, consultar dudas particulares, sin depender de un horario o un profesor concreto.
Y ahí reside el peligro. En internet podemos encontrar información de cualquier tema...pero sin saber si esa información es veraz. Por eso cuando encontré la resolución errónea de uno de los problemas que ahora mismo estamos viendo en clase, escribí con la respuesta que consideré adecuada. Al ver en tu respuesta que mencionabas que Rodriguez de Abajo, Taibo, Asensi, Corbella, etc... utilizaban en sus libros la medida de la bisectriz de otra manera, lo consulté en mis propios libros y ví que no era así (por lo menos en los que yo dispongo). Para evitar que uno de mis alumnos u otro considerase esta respuesta como válida (por la importancia de los autores mencionados), envié el segundo mensaje.
Como digo en el encabezado, todos podemos equivocarnos y mi respuesta podría ser también errónea. En ese caso, me gustaría que alguien me corrigiese, para aprender y para que quien consulte este ejercicio, dé con la resolución correcta.

Me alegro de haberte servido de ayuda.

Un saludo.