Triángulo con 3 alturas

[tintero0]

Necesito saber como construir un triángulo conocidas sus tres alturas.

[Antonio Castilla]

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1 - Con origen común en un punto cualquiera P se trazan tres segmentos en direcciones arbitrarias, de longitudes respectivamente iguales a las tres alturas.

2 - Haciendo pasar una circunferencia por sus extremos libres D, E y F.

3 - Esta circunferencia corta a los segmentos tomados, o sus prolongaciones, en los puntos M, N y S.

4 - Con lados iguales a las longitudes PM, PN y PS se construye un triángulo, que es semejante al pedido.

5 - Para obtener el definitivo resultado basta trazar una paralela a cualquier lado, a una distancia del mismo igual a su correspondiente altura, hasta encontrar en un vértice, A por ejemplo, a la prolongación de uno de los lados contiguos, punto por el cual se traza el tercer lado, paralelo al del triángulo auxiliar previamente obtenido.




El trazado se basa en los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Así el valor de la potencia es Pot. = PE·PM y debe ser igual para cualquier recta que corte a la circunferencia, por lo que se cumplirá Pot. = PE·PM = PN·PD = PF·PS.

Por otro lado, el área de un triángulo es Área = base·altura/2, y tendrá el mismo valor, sea cual sea el lado que se tome como base, por lo que se cumplirá, Área = PE·PM/2 = PN·PD/2 = PF·PS/2, donde unos segmentos son los lados y los otros las alturas respecto de esos lados.

Luego como ves se puede plantear una potencia con esas alturas.

[MENSAJE]

[Antonio Castilla]

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[dasilvafdezs]

Gracias! Tambien lo necesitaba..

[Norlan]

No entiendo como hacer la circunferencia para que pase por los tres extremos del segmento.

[Antonio Castilla]

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Se trata de hallar una circunferencia que pase por tres puntos, D, E y F.

Para ello une dos de los puntos y determina su mediatriz.

Une otros dos puntos y halla su mediatriz.

Donde se corten las dos mediatrices es el centro de la circunferencia que buscas y de radio hasta uno cualquiera de los tres puntos.

[anhika]

este metodo esta muy bien pero te dejo otro que es el que me han enseñado por si te sirve de algo
1. Construyes un triangulo DEF de lados igual a las alturas que te dan.
2. Trazas las alturas de este nuevo triangulo DEF.
3. Haces un nuevo triangulo de lados igual a las alturas del triangulo DEF. Este triangulo A´B´C´ sera proporcional al triangulo que buscamos.
4. Mediante una homotecia hallamos el triangulo buscado.

[luisfe]

Hola. Muy bueno Anhika !!! Ese método es cuando menos curioso.

También añadiré que ese método funciona también con las medianas. Con las bisectrices ya no.
A la naturaleza le encanta ser recursiva en muchas de sus manifestaciones.
No hay que olvidar que el método que presenta Antonio Castilla tiene una belleza increible.
Luisfe
Saludos

[anhika]

a mi me alegra servir de ayuda y que el metodo sea curioso, normalmente soy yo la que pido ayuda jajajaa
acabo de descubrir esta pagina y me encanta!! me vereis muy a menudo a partir de ahora por aqui