Construcción de triángulos

[rocioclaro]

Quisiera saber como se resuelven los siguientes problemas SIMPLES de
TRIÁNGULOS a ver si alguien me puede ayudar, ahí van:

1º: Dada la bisectriz y la mediana de un ángulo y la altura, construir triángulo

2º: Construcción dada la mediana del lado y el ángulo opuesto

3º: Dada la suma de 2 lados, el otro y el ángulo A

4º: Dada la suma de 2 lados a y b y 2 ángulos A y B

5º: Dados el perímetro y uno de los catetos. (¿cual era el perímetro?)

6º: Dada la hipotenusa y una mediana

El punto de un triángulo donde se ven los 3 ángulos iguales, es el BARICENTRO ¿cierto?

También quisiera saber como se hace el triángulo equivalente.

Gracias

[Antonio Castilla]

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La proxima vez plantea cada problema en un tema distinto.

Los enunciados que planteas estan muy incompletos, como el 1º que no especificas si los datos son referidos al mismo ángulo o no. En otros, como el 2º, ni se pueden plantear pues les faltan datos. En otros omites cuestiones que son importantes, como en el 5º, que no indicas que el triángulo debe ser rectángulo, y que se dejan entrever ya que hablas de
un cateto. Para que tengas una respuesta adecuada (y no parecida a lo que deseas) vuelve a escribir los enunciados completos.

Planteas una cuestión que es muy básica y puedes conseguir en cualquier diccionario escolar. ¡ Hay que trabajar un poquito mas !.

El perímetro de una figura plana, es la suma de sus lados.

[Antonio Castilla]

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Triángulo dada la bisectriz, la mediana y la altura de un mismo ángulo

Se construye un triángulo rectángulo A E D, tomando por cateto A E la altura h, y por hipotenusa A D la mediana rna, trazando por D una perpendicular al cateto base E D. Con centro en el vértice A y radio wa, bisectriz conocida, se describe un arco hasta cortar en F al cateto básico E D, prolongando el segmento A F hasta cortar en G a la perpendicular trazada anteriormente por D. La mediatriz del segmento A G corta a la perpendicular ya indicada en el punto O, punto que se toma como centro para trazar una circunferencia auxiliar que pase por A y G. Esta circunferencia corta a las prolongaciones de E D en los puntos B y C,
vértices del triángulo solución ABC.

[Antonio Castilla]

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Para el 6º :

Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa, B-C, y la mediana, mb,
correspondiente a un cateto.

1 - Describir una semicircunferencia de diámetro B C igual a la hipotenusa dada, trazando concéntricamente a la misma un arco de radio igual a la sexta parte de la hipotenusa.




2 - Con centro en uno de los extremos B de la hipotenusa y radio 2/3 de la mediana mb conocida, trazar un nuevo arco que cortará al anterior en el punto G.

3 - Prolongar B G en una longitud igual a la mediana y unir su extremo Mb con C hasta cortar en A a la semicircunferencia, punto vértice del ángulo recto.

[Antonio Castilla]

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Para el 3º :

Construir un triángulo conocido un lado a, la suma b + c de los otros dos y el ángulo A, opuesto al lado dado.

Constrúyase sobre el lado a = B C el arco capaz para los ángulos A y A/2.
Con centro en uno de los extremos C del lado a y radio b + c, se traza un arco hasta cortar en D al arco capaz de A/2. El segmento D C determina sobre el arco capaz del ángulo A el tercer vértice A del triángulo.
Siendo el ángulo BDA = BAC/2, el triángulo D A B resulta isósceles, puesto que B D A + ABD = BAC, luego D A = A B, con lo que queda justificado
que DC = DA + AC = BA + A C = c + b.

[Antonio Castilla]

Para el 5º :

Construcción de un triángulo rectángulo escaleno conocidos el perímetro (2p)
y un cateto (b).

Restando al perímetro dado la magnitud del cateto, también dado, se tendrá : [(MC') = 2p]; [(MA) = (2p - b)], siendo [b = (AC') = (AC), la mediatriz del segmento (MC) situará sobre (MA) el tercer vértice, B, del triángulo buscado; puesto que (BA) es el cateto menor, y (BC) la hipotenusa.
Teniéndose, entonces, [(MB) + (BA) = (MC') - (AC')]
[(MB) + (BA) + (AC') = (MC') = 2p] sustituyendo, [(MB) = (CB)]; [(AC') = (AC)]
[(CB) + (BA) + (AC) = 2p].

[Antonio Castilla]

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Para el 4º :

Construir un triángulo dada la suma de dos lados, a y b, y el valor de los ángulos opuestos a esos lados, A y B.


Se coloca sobre una recta la medida de la suma de los dos lados, a+b.
Por uno de sus extremos, C, se construye el ángulo B.
Por el otro extremo el ángulo (180º-A-B)/2.
Donde se corten ambos ángulos es el segundo vértice del triángulo, A.
Se dibuja la mediatriz del segmento formado por este último ángulo.
Donde la mediatriz a la suma de los lados el el último vértice del triángulo, B.

[rocioclaro]

Muchísimas gracias por las explicaciones, me han sido muy útiles, con respecto al ejercicio 2º el enunciado era así solamente: Dada la mediana del lado, el lado y el ángulo opuesto
creo que así se podría resolver mejor el ejercicio.

El baricentro y el perímetro ya no son dudas (lo había olvidado) y las EQUIVALENCIAS, quisiera saber como se procede en los siguientes ejercicios:

1º Cuadrado equivalente al círculo de radio 20 mm

2º Triángulo equivalente a triángulo dado

3º si tenemos un triángulo y queremos hallar un cuadrado equivalente con la misma área

Por cierto, ¿como puedo enviar archivos JPG? porque quiero enviar un par de problemas mas y no se como hacerlo bien, veo que hay que poner una url y eso pero no se como. ¿Me podéis
ayudar?

4º Si tenemos un polígono regular. Equivalencia también

Espero que me puedas ayudar también,

Muchas gracias

[Antonio Castilla]

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El problema que planteas de hacer un cuadrado equivalente a un circulo, es uno de los tres problemas clásicos de la antigüedad griega, y en concreto se suele denominar como la cuadratura del circulo.

Existen infinidad de métodos para hacerlo, te pongo el que considero más simple :

Divídase el diámetro del círculo en siete partes y con centros en sus extremos A y B trazar arcos de radios respectivamente iguales a 4d/7 y 3d/7 obteniendo los puntos D y C sobre las prolongaciones del diámetro
considerado. Trazar una semicircunferencia de diámetro C D, levantando por A una perpendicular hasta cortar en E a la semicircunferencia. El segmento A E es el lado del cuadrado equivalente al círculo del diámetro
dado A B.

[Antonio Castilla]

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Aquí tienes otro :

Construir un triángulo equivalente a otro dado.

Trácese por el vértice opuesto a la base del triángulo conocido una paralela a ésta. Cualquier punto C' de la paralela trazada, unido con los vértices de la base nos determina un triángulo equivalente al propuesto.

[Antonio Castilla]

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Construir un triángulo conocidos el lado c = 35 mm, su mediana Mc = 40 mm y el ángulo opuesto al lado C = 45º.

1 - Se dibuja el lado dado, c = AB = 35 mm.




2 - Dibujar el arco capaz de 45º respecto de ese lado.

3 - Con centro en el punto medio del lado dado y radio el valor de la mediana, Mc = 40 mm, se hace un arco que corte al arco capaz.

4 - Donde corte al arco capaz es el tercer vértice del triángulo, C.

[MENSAJE]

[Antonio Castilla]

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También te pueden interesar los siguientes :

Aplicados a triángulos

1. Triángulo rectángulo conocido un cateto y la diferencia de la hipotenusa y el otro cateto
2. Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la diferencia de los catetos
3. Triángulo rectángulo conocido un ángulo y la suma de la hipotenusa y un cateto
4. Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la suma de los catetos
5. Triángulo isósceles conocido un ángulo desigual y la suma del lado desigual y su altura
6. Triángulo conocido un lado, la suma de los otros dos y un ángulo
7. Triángulo conocida la suma de dos de sus lados y dos ángulos
8. Triángulo rectángulo conocido un ángulo y la diferencia del cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa (primer método)
9. Triángulo rectángulo conocido un ángulo y la diferencia del cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa (segundo método)

Aplicados a otros polígonos

1. Rectángulo conocido el lado mayor y la suma de la diagonal mas el otro lado
2. Romboide conocido uno de sus lados, la diferencia entre las diagonales y el ángulo que forman las diagonales
3. Rectángulo conocida a diferencia de la diagonal menos la base y el valor de la altura

[Bisectriz]

Hola
no entiendo por qué en la resolución del ejercicio 6 se divide la hipotenusa en 6 partes. ¿Me podéis explicar por qué el baricentro se encuentra en el punto donde corta ese arco con 2/3 la mediana de b? Me sería de gran ayuda. Gracias

[Antonio Castilla]

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El razonamiento de lo que se ha hecho en el 6º ( Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa, B-C, y la mediana mb ) se basa en dos propiedades :

1. En cualquier triángulo el baricentro esta sobre las medianas, a 2/3 de la longitud de la mediana medida desde el vértice, o a 1/3 medida desde el punto medio del lado opuesto al ángulo
2. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide el doble que la mediana que parte del ángulo recto

Conocidas estas propiedades, como se conoce el valor de la mediana respecto de B, el baricentro estará a 2/3 de esa longitud medida desde el vértice B, según la primera propiedad. De ahí, el que se haga ese arco para localizarlo.

Aplicando la segunda propiedad, respecto del punto medio de la hipotenusa, el baricentro esta a 1/3 de su mediana, ma, y como esta mide la mitad que la hipotenusa, BC, será ma/3 = (BC/2) / 3 = BC/6. Es por ello que desde el punto medio de la hipotenusa se haga un arco de radio 1/6 de la hipotenusa, en donde se localizará el baricentro.

Lógicamente donde se encuentre los dos arcos es el baricentro.

[Bisectriz]

Aclarado la verdad es que es bastante lógico. Muchas gracias