Tangencia resuelta por Homotecia y Potencia

[llopezc80]

En el libro Arc 2 de la ed. Vicens Vives de los autores F.X Lacort i J Sala, aparece un ejercicio de “Circunferencia tangente a 2 circunferencias dadas y que pasa por un punto exterior”.
En su resolución se utiliza la Homotecia y también se utiliza el concepto de Potencia, se describen los pasos a seguir, pero no acabo de entender la motivación para realizar el paso 2º descrito a continuación.

Adjunto la imagen del libro y una traducción del texto (el libro original está en catalán)
1.- Unimos los centros O’ y O” y prolongamos esta recta. Por el centro O’ trazamos un radio cualquiera y hacemos una paralela por el centro O”. Unimos los puntos donde estos radios han cortado las circunferencias y prolongando hasta cortar la recta que unía los centros, obtenemos el punto H, centro de homotecia respecto a las 2 circunferencias.
2.- Considerando A y B los puntos en que la recta que une los centros corta las circunferencias, hacemos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos A, B y P con centro en O1. El punto donde esta circunferencia corta la recta que une H y P es el punto P’, punto por el cual también pasa la circunferencia buscada.
3.- Convertimos así el problema en “Tangente a una circunferencia que pasa por dos puntos”.
4.- Encontramos el eje radical de la circunferencia auxiliar con la circunferencia O’ y, donde corta la recta que pasa por P y P’ , es el centro radical R. Desde este punto buscamos el punto de tangencia T con la circunferencia O’ y unimos el centro con el punto de tangencia, prolongando esta recta; el punto donde se corta con la mediatriz del segmento PP’ es el centro O de la circunferencia buscada.
5.- Al definir la potencia del punto H respecto a la circunferencia auxiliar podemos escribir que HA•HB=HP•HP’, y respecto a la circunferencia resultante que HP•HP’=HT•HT’; por tanto, la circunferencia auxiliar que pase por P, A y B contendrá , en su intersección con la recta PH, un punto P’ que también contendrá la circunferencia buscada.

¿Alguien me puede ayudar? Muchas gracias

[fernandore]

La circunferencia de centro O" es la inversa de la circunferencia de centro O',siendo el centro de dicha inversion el punto H.

Por Inversion : HAxHB=K y HTxHT'=K
Por potencia: HAxHB=HPxHP'

Se deduce q HPxHP'=HTxHT' por lo q P,P',T y T' pertenecen a la misma circunferencia.

c.q.d.

Salu2

[MENSAJE]

[Antonio Castilla]

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Aparte de lo que ya te ha comentado Fernandore, yo te voy ha hacer una descripción con palabras sin entrar en demostraciones analíticas (que por supuesto son necesarias).

1 - Para resolver el problema se parte de una propiedad que tiene las circunferencias que son inversas, y es que dos circunferencias inversas son a la vez homotéticas coincidiendo el centro de inversión con el de homotecia.
Por eso consideramos en un principio que las dos circunferencias van a ser inversas y una manera muy rápida de hallar su centro de inversión es determinar el centro de homotecia, ya que ambos son el mismo.
Hasta ahí la utilidad que se le da en este problema a la homotecia, pero el resto ya no la emplea.

2 - Como las dos circunferencias son inversas, cualquier recta que parta del centro de inversión, H, las cortará en dos puntos que son inversos (siempre en lados contrario, si uno esta en la derecha de la circunferencia el otro en el de la izquierda, etc.). No es del todo necesario que sea la recta que pasa por los centros y da los puntos A y B, podría ser cualquier otra, pero imagino que siempre se ha tomado esta por comodidad.

3 - Con todo esto tenemos tres puntos de la inversión, el punto P por el que pasará la circunferencia buscada, y los puntos A y B que son uno inverso del otro. O que se hace a continuación es hallar el inverso de P. Esto se podría hacer con la circunferencia de autoinversión, pero bueno, siguiendo la tradición se hace con una circunferencia doble. Es decir, se busca una circunferencia que pase por A y B (puntos inversos) y P. Como esta circunferencia contiene a un par de puntos inversos (A y B) se considera que es doble, por lo tanto el inverso de P debe de estar sobre ella. Uniendo el centro de inversión, H, con el punto P obtenemos en la circunferencia doble (auxiliar) su inverso, P'.

4 - Hasta aquí lo que hemos logrado es averiguar un punto de la inversa de la circunferencia que buscamos, el punto P'. Ahora nos podemos preguntar ¿ cual es la inversa de la circunferencia buscada ?. Como la circunferencia que buscamos no pasa por el centro de inversión, su inversa será otra circunferencia, que pasará por P'. Además, recordando otra propiedad de la inversión, si dos elementos son tangentes sus inversos también lo son. Según esto la circunferencia buscada es tangente a la circunferencia O', por lo que su inversa será tangente a la inversa de la circunferencia O'. Esta no es otra que O", luego la inversa de la que buscamos es tangente a O" y pasa por P'. Eso es suponiendo que O' era la circunferencia inicial y O" su inversa, pero si lo consideramos al revés nos encontramos con que como la circunferencia buscada también es tangente a O" su inversa será tangente a la inversa de O" es decir a O' y pasará por el punto P, inverso de P'.
Con este pequeño lio, llegamos a la conclusión de que la circunferencia buscada y su inversa son la misma (es doble) por lo que debe de ser tangente a las dos circunferencias O' y O" y pasar por los puntos P y P', por ello el problema se puede considerar reducido a determinar las circunferencias tangentes a una de las dos (O' u O") y que pasan por los puntos P y P'.

[Antonio Castilla]

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[alutor]

YA ME HE ENTERADO BIEN, EL RESULTADO SON DOS CIRCUNFERENCIAS, UNA EXTERIOR Y OTRA INTERIOR, MEDIANTE LA HOMOTECIA DIRECTA, EJES RADICALES Y CENTRO RADICAL PARA HALLAR LOS PUNTOS TANGENTES BUSCADOS. MUCHAS GRACIAS.