Fractal.
El término fractal procede del adjetivo latino ‘fractus’, que significa “interrumpido” o “irregular”. La geometría fractal es un lenguaje creado por Benoît Mandelbrot en 1975 para describir las formas complejas de la naturaleza, como nubes, sistemas montañosos, galaxias, flores, ramificaciones arbóreas y bronquiales, rocas, cuencas hidrográficas, sistema neuronal, las líneas costeras, esponjas, etc., y objetos matemáticos como el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski, cuyo comportamiento caía fuera del marco de la matemática tradicional. Un fractal es un objeto que, si lo ampliamos, va mostrando una estructura similar.
Los fractales son simétricos respecto a cambios de escala. Hay una estrecha relación entre los fractales y el crecimiento. La geometría fractal es la geometría de los procesos caóticos; es decir de los procesos dinámicos cuyo desarrollo depende crucialmente de las condiciones iniciales. No todos los objetos de la naturaleza son fractales, pero tienen una alta probabilidad de formarse. Una de las aplicaciones de la teoría de los fractales es el tratamiento de las imágenes digitales. Se descompone la imagen en unos pocos subconjuntos, cada uno de estos se representa por un conjunto de algoritmos cuya aplicación lo reproduce, de manera aproximada. Así hay un enorme ahorro en la transmisión de imágenes.
Para describir los fractales se utilizan principalmente algoritmos y no las formas básicas de la geometría tradicional, como punto, recta y plano. Se suelen distinguir dos tipos de objetos fractales, deterministas y aleatorios. En los objetos fractales deterministas la descripción de estas formas se realiza por la relación entre sus partes. Se caracterizan por la autosemejanza de algunas de sus partes con el todo. Es decir que partes del objeto son pequeñas réplicas del total. En cada escala, se repite un motivo geométrico. Un objeto es estrictamente autosimilar o sibisemejante si puede descomponerse en partes que son réplicas exactas del total. Cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta del objeto total. Para dibujar un fractal, debemos partir de una figura básica (un segmento, por ejemplo) y aplicar repetidamente los algoritmos definidos. Este proceso, es infinito. La figura límite resultante es un fractal.
Los objetos fractales aleatorios se introducen variaciones aleatorias en el proceso de construcción mediante el algoritmo. Sin embargo, en cualquier escala, los detalles parecen ser invariantes. Figuras aparentemente complejas de la naturaleza, si se analizan a distintas escalas, presentan siempre los mismos algoritmos básicos de construcción.
Para medir la complejidad de una figura, es decir el grado de irregularidad y de interrupción de los fractales se generaliza el concepto habitual de dimensión espacial, y se define la dimensión fractal como grado de ocupación del espacio. Un punto tiene dimensión 0; una línea tiene dimensión 1; un plano, dimensión 2; una bola, dimensión 3; etc. El conjunto de Cantor ocupa más que un punto, pero menos que una línea, con lo que su dimensión debería estar entre 0 y 1; el triángulo de Sierpinski y la de Koch ocupan más que una línea, pero no todo el plano, con lo que su dimensión debería estar entre 1 y 2; la curva de Peano puede demostrarse que ocupa todo el plano, su dimensión debería ser 2, etc.