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Hallar las circunferencias tangentes a la circunferencia A, que pasen por el punto P y tengan su centro en la recta R.
SOLUCIÓN
1 – Supón el ejercicio resuelto (las soluciones están en línea blanca gruesa). El punto P dado es de la circunferencia buscada y el centro debe estar sobre la recta R, si quisiéramos trazar una recta tangente se haría una perpendicular al radio que une el punto de tangencia deseado, P, con el centro, y esa es la recta R dada, luego al hacerle una perpendicular a R por el punto P se ha dibujado una recta tangente a la circunferencia buscada (en amarillo).
2 – Ahora recordemos una propiedad (esta es solo una hay otras) fundamental del centro radical de dos circunferencias : «el centro radical es el punto por el que pasan las tangentes a tres circunferencias que miden lo mismo». Se puede expresar de otras formas pero así está más claro lo que quiero hacer, y es buscar el centro radical, por que ya que tengo una tangente, si localizo otra que mide lo mismo respecto de la circunferencia dada A, tendré los puntos de tangencia de la solución con la dada.
3 – Para determinar el centro radical se dibujan dos ejes radicales y donde estos se corten es el centro radical. Como la circunferencia dada debe tener su centro sobre la recta R, buscaré una cualquiera con su centro en dicha recta R, que pase por P y que corte a la dada A (la que está en magenta). Así la recta que se hizo perpendicular a R por P ya es un eje radical entre la circunferencia buscada y la elegida al azar (por ser las dos tangentes en P).
4 – Se determina el otro eje radical (entre la elegida al azar y la dada A), simplemente uniendo los puntos de corte de ambas (en azul). Donde se corte con la anterior es el centro radical (marcado en rojo con C.R.).
5 – Si con centro en el centro radical (C.R.) y radio hasta el punto P hago un arco (línea fina roja) corta a la circunferencia dada en T1 y T2. Lo que he hecho ha sido localizar los puntos de tangencia de la circunferencia dada A que miden lo mismo que la tangente desde la circunferencia buscada.
También se podría hacer las tangentes (línea blanca fina discontinua) a la circunferencia dada A desde el centro radical (C.R), y se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 (cada uno es para una solución distinta).
6 – Los puntos obtenidos son los puntos de tangencia con la circunferencia dada, para hallar los centros de la solución basta con unirlos con el centro de la circunferencia dada.
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Buenos días.
Gracias por el trabajo que desarrollas y desarrolláis en esta página web.
He estado revisando este problema y se me ha ocurrido solucionarlo por inversión, por lo que lo publico esperando que sea de alguna utilidad.
Trazar un circulo de inversión de centro P y radio PT siendo T el punto de tangencia desde P a la circunferencia A. Esto nos deja a la circunferencia A inversa de si misma A=A’ y la recta R =R’. En la inversión la circunferencia S solución pasa por el centro P de inversión luego su inversa S’ es una recta que ha de cumplir:
1. S’ es tangente a A’=A
2. Como S tiene su centro en R => R corta a S en un diámetro => R es ortogonal con S y como la inversión conserva ángulos => R’=R es ortogonal con S’ y como R’ y S’ son rectas => son perpendiculares.
El problema se ha traducido, por inversión, en trazar rectas S’ tangentes a A’=A y perpendiculares a R’=R.
PROCEDIMIENTO
1. Trazar la tangente PT desde P a la circunferencia A.
2. Trazar el círculo de la inversión de centro P y radio PT.
3. Por el centro de A trazar una paralela a R => R1, R2
4. Por esos puntos trazar las perpendiculares a R => S’1, S’2
5. Hallar las inversas de la rectas S’1, S’2 => las circunferencias S1, S2