Superficie mínima, es la superficie que tiene el área mínima con una curva cerrada dada como contorno. Ejemplos de superficies mínimas son el helicoide, la catenoide, la esfera y el plano. Una forma experimentar de visualizarlas es con alambres y jabón, así si se hacen dos aros circulares de alambre y se sumergen en una solución jabonosa al sacarlos y separarlos se forman entre ellos una catenaria con la pompa de jabón.
En 1744, Leonhard Euler planteó y solucionó el primer problema de la superficie mínima, para encontrar, entre todas las superficies que pasan por dos círculos paralelos, que superficie era la más pequeña. Él descubrió así la catenoide. En 1755, es Lagrange, entonces contaba con 19 años, quien desarrolla la ecuación de Euler-Lagrange que se aplica a una superficie mínima que se apoya en un contorno cerrado. En 1776, Meusnier dedujo la ecuación diferencial de Lagrange por la cual se determina las curvas principales que dan lugar a una curva media nula. En esa ocasión descubrió el helicoide. En 1866, Weierstrass demuestra que una solución con la ecuación de Euler-Lagrange y comprueba las ecuaciones de Cauchy-Riemann: tal solución es así una función holomórfica. En 1873, el físico belga Joseph Plateau generaliza una observación experimental que había hecho usando las películas del jabón: para cualquier contorno dado homeomórfico a un círculo, hay una superficie mínima, por lo tanto una solución con la ecuación de Euler-Lagrange. La investigación en este campo se estanca durante más de un siglo. En 1982, solamente seis tipos de superficies mínimas eran conocidos: el plano, la catenoide, el helicoide, la superficie de Enneper y dos tipos de superficies de Scherk. Pero este año, Meeks y Hoffmann, basándose en el trabajo de Costa, publicó a nueva familia, seguida después de otras diez. De hecho el progreso de la informática hizo posible estos descubrimientos. Hay hoy más de cien familias de superficies mínimas completa. Desde Lagrange, se sabe que las superficies mínimas que son basadas en un contorno dado tienen una curva media nula. Esta característica traduce el aspecto local de la superficie, de modo que una deformación ligera pueda aumentar solamente la superficie, es necesario que está sea de tipo de la silla de montar. Todas las superficies mínimas son así localmente del tipo de la silla de montar. El nacimiento de una definición total de esta observación, generalizó la definición matemática de la superficie mínima, y así se llama superficie mínima a cualquier superficie cuya curva media sea nula en cualquier punto. Esta definición hace que se pierda un poco la dirección física, de hecho, algunas de estas superficies se intersecan, y puede ser difícil imaginar un contorno en el cual se base la superficie.