Autor: Administrador

Ejercicios de superficies curvas – 999

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Determinar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto del eje Z y del plano XY.

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SOLUCIÓN

El lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de un punto del eje Z y del plano XY es un paraboloide de revolución.

Esta superficie se obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje (en este caso el eje Z).

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Ejercicios de superficies curvas – 998

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Determinar el lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje Z y del plano XY.

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SOLUCIÓN

El lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje Z y el plano XY es un cono (o doble cono más exactamente) con vértice en el origen de coordenadas y ángulo en el vértice de 90º (45º entre el eje y sus generatrices).

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Ejercicios de sombras en diédrico – 999

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Dado el cuadrado ABCD, hallar su sombra arrojada según la dirección de la luz MN

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SOLUCIÓN

1 – Hacer paralelas a la dirección de la luz por cada uno de los vértices del cuadrado

2 – Hallar las trazas horizontales de cada una de esas rectas (en mi dibujo, Sa-Sb-Sc-Sd). Uniéndolas se obtiene la proyección horizontal de la sombra arrojada sobre el plano horizontal de proyección. Ahora bien, solo se considerará la parte que está debajo de la línea de tierra
3 – Se hallan las trazas verticales (Sb’ y Sc’) de las paralelas a la dirección de la luz. No he calculado las de A y D por que caen debajo de la línea de tierra. Unimos esas dos sombras con los puntos donde la sombra arrojada sobre el horizontal corta a la línea de tierra y ya se tiene la sombra arrojada sobre el plano vertical de proyección

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Ejercicios de sombras en diédrico – 998

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Hallar la sombra de una pirámide oblicua, si:
La base es un hexágono regular ABCDEF que está en un plano horizontal P.
El centro de la base O(0; 60; 90).
El vértice A tiene alejamiento 70 y referencia – 40.
El vértice de la pirámide V tiene – 60 de referencia y 30 de alejamiento.
Línea de tierra.

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SOLUCIÓN

Colocados el centro O y el vértice A se dibuja un hexágono en proyección horizontal para la base.
Se sitúa V y se prolonga AV hasta la línea de tierra. De ahí se une con A’ y por V una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar a la anterior.

Para la sombra, se trazan líneas que formen 45º con respecto a la línea de tierra en ambas proyecciones, pasando por todos los vértices.
Se hallan las trazas horizontales de dichas rectas. Uniéndolas entre sí da la sombra sobre el plano horizontal.
Determinando las trazas verticales de las mismas rectas y uniéndolas se obtiene la proyección vertical de la sombra.

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Ejercicios de sombras en diédrico – 997

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Definidos dos triángulos ABC y DEF por sus proyecciones diédricas, se pide estudiar las sombras arrojadas según la dirección de la luz dada, L.

Se puede ver el cálculo de la intersección de los dos triángulos pulsando aquí.

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SOLUCIÓN

SOMBRA ARROJADA
7 – Por uno de los vértices del triángulo, A por ejemplo, se dibujan paralelas las proyecciones de la dirección de la luz.

8 – Las trazas de estas rectas, sa y sa’, son las sombras arrojadas sobre los planos de proyección.
9 – Repetir con el resto de los vértices de los triángulos. A sus correspondientes sombras les precede la letra s.
10 – Unir las sombras sa-sb-sc, sa’-sb’-sc’, sd-se-sf y sd’-se’-sf’.
11 – De las proyecciones horizontales solo se conserva la parte que está por debajo de la línea de tierra (la zona en azul claro). Y de la proyección vertical solo se considera la parte que está por encima de la línea de tierra (la zona en azul más oscura).

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 034

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Dibujar la recta directriz de una parábola sección de un cono recto.

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SOLUCIÓN

Para hallar la recta directriz (usando el teorema de Dandelin) una vez determinada la esfera tangente al plano y al cono, se traza un plano que contenga a la curva de contacto entre el cono y la esfera, o dicho de una manera más simple, se traza una línea que una los puntos de contacto (tangencia) del triángulo (proyección del cono) y la circunferencia (la proyección de la esfera), donde corte a la traza del plano es la recta directriz, que en nuestro caso se ve como un punto, d’, en proyección vertical (recta de punta).

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V
3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J )
4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
4.a – La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O
4.b – La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e
4.c – La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L
5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 033

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Sección a un cono, apoyado en un plano P, por un plano un plano Q, aplicando homología.

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SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los planos P y Q ( recta I )

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V
3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J )
4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
4.a – La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O
4.b – La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e
4.c – La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L
5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 032

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Sección a un cono, apoyado en un plano P, por un plano un plano Q, aplicando homología.

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SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los planos P y Q ( recta I )

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V
3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J )
4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
4.a – La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O
4.b – La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e
4.c – La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L
5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

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Ejercicios de sección de un cuerpo por un plano – 031

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Dada la esfera de centro O y un plano oblicuo alfa que la corta hallar un punto de cota H que pertenezca a la sección producida por el plano, sin dibujar la sección.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta horizontal de cota H que pertenezca al plano alfa
2 – Trazar un plano horizontal de cota H (su traza vertical coincide con la proyección vertical de la recta)
3 – Seccionar la esfera por el plano horizontal. El resultado es una circunferencia en la proyección horizontal
4 – Los puntos de corte de la proyección horizontal de la recta horizontal con la circunferencia sección son los puntos buscados

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Dada la esfera de centro C(0,50,50) y radio 4 cm hallar un plano P que forme 45º con el plano horizontal de proyección, pase por el punto A (-50, 50, 50) y corte a la esfera según una circunferencia de radio 3 cm.
Dibujar las proyecciones de la circunferencia intersección, sus correspondientes ejes y puntos de tangencia si procede.

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SOLUCIÓN

Comento la determinación dle plano :
1 – Por la proyección vertical del centro, c’, se traza una línea que forme 45º respecto de la línea de tierra (en rojo).

2 – Desde la proyección vertical del centro, c’, se mide el radio, 30 mm, de la sección buscada. Por ese punto se levanta una perpendicular a la recta que formaba 45º hasta que corte al contorno de la esfera (punto en magenta).

3 – Por ese punto se dibuja una línea a 45º respecto de la línea de tierra y esta es la traza, p1′, del plano buscado, pero girado. Desde donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular, p1, que será la traza horizontal del plano buscado pero girado.

4 – Por la proyección vertical del punto, a’, por el que debe pasar el plano se traza una paralela a la línea de tierra hasta la traza vertical del plano girado, p1′. Con esto obtenemos la proyección vertical, a1′, del punto girado.

5 – Desde la proyección horizontal del centro de la esfera, c, y con radio hasta la proyección horizontal del punto, a, se traza un arco. Desde la proyección vertical a1′ se baja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco. Donde se encuentren, a1, es la proyección horizontal del punto girado.

6 – La traza horizontal del plano girado, a1, se debe girar un ángulo (sector circular verde) igual al que forman las proyecciones horizontales del punto A (a y a1) alrededor de la proyección horizontal de la esfera, c. Con esto obtenemos la traza horizontal del plano buscado, p.

7 – Mediante una recta horizontal se calcula la traza vertical del plano, p’.

8 – En realidad, para dibujar la sección no es necesario determinar las trazas del plano original, p-p’; sino que una vez determinado el plano girado, p1-p1′, y las proyecciones del punto A girado (a1-a1′) se trata de hallar la sección que produce el plano proyectante p1-p1′ y girar esa sección un ángulo igual al que se ha girado el punto A (a-a1) alrededor de la proyección horizontal del centro de la esfera, c.

 

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