Dibujo técnico, geometría y cad.
Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 994
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 994
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Dadas tres cuñas biseladas triangulares macizas que se cortan.
Completar las tres vistas diédricas con la intersección de las mismas.
SOLUCIÓN
La perspectiva es esta :
Y su alzado este :
Las otras dos vistas son simétricas al alzado :
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 993
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 993
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Hallar la intersección de los dos conos siguientes :
Cono 1 : De revolución con vértice W(-65, 120, 15), centro O(25, 0, 35) y radio 30 mm.
Cono 2 : De revolución con vértice V(0, 40, 57) y radio de la base 35 mm, estando situado en el plano horizontal.
SOLUCIÓN
1 – Se dibujan las proyecciones de ambos conos.
2 – Se hace un primer cambio de plano del cono (cono coloreado en magenta) de eje WO con la segunda línea de tierra paralela a su eje. Mediante un segundo cambio de plano o una sección rebatida (la semicircunferencia en magenta las oscuro) se tiene la base del cono en verdadera magnitud.
3 – Se divide la base del cono (la rebatida) en varias partes. Yo solo he marcado una, a1, para ganar en claridad.
4 – Se determinan las proyecciones de esas divisiones en las otras vistas; a1′ en el primer cambio de plano, a en la proyección horizontal y a’ en la vertical, mediante el alejamiento Z1 y la cota Z2.
5 – Uniendo el punto A con el vértice del cono, W, se tiene una generatriz.
6 – Hallar la traza vertical, VA, de esta generatriz, WA.
7 – Unir los vértices de los dos conos, V-W.
8 – Determinar las trazas horizontal, th, y vertical, tv’, de la unión de los vértices de los conos, VW.
9 – Unir la traza vertical, tv’, con la traza vertical Va’ hasta la línea de tierra y desde ahí con la traza horizontal th. Esto nos da el plano PA.
10 – Donde la traza horizontal, pa, del plano corte a la base del cono de vértice V, puntos 1a y 2a, se unen con su vértice v.
11 – Donde estas últimas corten a la generatriz WA son los puntos de la intersección buscada, 1 y 2.
12 – Llevar las generatrices a la proyección vertical para determinar sus proyecciones verticales, 1′ y 2′.
13 – Repetir con el resto de las divisiones para obtener más puntos.
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 992
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 992
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Dado el croquisacotado de la figura, se pide completar las vistas.
SOLUCIÓN
Determinación de la intersección de una pirámide triangular equilátera recta con un cilindro recto (punta afilada a la izquierda de la pieza)
1 – Tomar un plano de perfil, P
2 – Donde la traza vertical del plano, p’, corta a la prolongación de la arista de la pirámide (punto A’) se lleva al perfil (punto A") y por ahí se traza la sección que produce el plano en la pirámide (triángulo equilátero homotético de X"-Y"-Z")
3 – Donde la sección de la pirámide (el triángulo que parte de A") corta a la sección del cilindro (la circunferencia mayor del perfil) son los puntos de la sección (puntos 1", 2", 3", 4", 5" y 6")
4 – Se llevan esos puntos a las proyecciones horizontal y vertical sobre las trazas del plano (puntos 2 y 3). Yo solo he dibujado un par de ellos por claridad del dibujo
5 – Repetir con varios planos más para obtener más puntos que se unen a mano alzada
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 991
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 991
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Trazar las vistas de la siguiente pieza, completando sus intersecciones.
SOLUCIÓN
En el sistema europeo o del primer diedro, las vistas serían :
En el sistema americano o del tercer diedro será :
La pieza es sencilla, la única dificultad es el trazado de la curva intersección entre el taladro vertical y el horizontal.
INTERSECCIÓN DE DOS AGUJEROS CILÍNDRICOS
Para hacer esta curva, se toman puntos cualesquiera en la planta (donde el agujero central superior se ve como una circunferencia)
Se levanta una vertical hasta el agujero semicircular que se ve en el alzado.
Por ahí se hacen horizontales.
En la planta se miden las medidas entre el agujero central superior y los laterales (medidas x, y, z)
Y estas medidas se llevan al perfil sobre las horizontales de cada punto.
Se repite con varios y se unen a mano alzada.
Comento como se lleva un punto a las distintas vistas :
En la planta eliges un punto de la circunferencia (marcado con A).
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 990
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 990
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¿ Qué forma tiene una bóveda de crucero y rincón de claustro ?
SOLUCIÓN
Es la unión de ambas. Uno es el complementario del otro, luego quedaran perfectamente encajados y sin que haya ninguna intersección entre ambas sino solo un solapamiento de líneas.
Si la construimos, desde arriba (a vista de pájaro) se vería la típica bóveda de crucero :
Si la vemos desde abajo (a vista de rana) verías la típica bóveda de rincón de claustro :
Entre ambas (la zona azul y las zonas roja y verde) queda un espacio vacio.
En esta imagen he dibujado la bóveda de crucero (verde y roja) hueca y no maciza como antes.
Las limas de uno y otro son coincidentes.
Los lunetos de la de crucero que forma un espacio vacío entre las dos.
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 989
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 989
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Intersección entre un cilindro de revolución y un cono de revolución cuyos ejes se cortan
SOLUCIÓN
1 – Con centro en el punto de corte de los dos ejes se traza una esfera (la que ves rellena de cian en la proyección vertical).
2 – Donde la esfera corte a los contornos del cono, puntos 1′-2′ y 3′-4′, son los diámetros de dos circunferencias que se dibujarán en la planta (la rellena de amarillo claro y de verde).
3 – Se unen los puntos donde la esfera corta los contornos del cilindro, 5′-6′ y 7′-8′.
4 – Donde las secciones del cono (1′-2′ y 3′-4′) y el cilindro (5′-6′ y 7′-8′) se corten entre sí, puntos a’, b’ y c’, son los puntos de la sección buscada.
5 – Llevar esos puntos a la proyección horizontal, a, b y c, sobre las circunferencias.
6 – El resto es repetir con otra esfera de un radio distinto, eso dará más puntos. Cuando se tengan suficientes se unen.
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 988
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Resolver la intersección de las siguientes superficies:
a) CONO DE REVOLUCIÓN de eje vertical, vértice V1 (0, 7, 12) y directriz circular en el PH, de 7 cm de radio.
b) SUPERFICIE CÓNICA DE REVOLUCIÓN, de vértice V2 (-7, 0, 0), apoyada en el plano horizontal de proyección a lo largo de una generatriz, cuyo eje se corta con el eje del primer cono en un punto de cota +4.
Indicar los puntos de paso por los contornos aparentes.
Ambas superficies están circunscritas a una tercera.
DATOS: Papel A3 horizontal, línea de tierra en el centro. Origen a 18 cm del borde izquierdo.
1 unidad = 1cm
SOLUCIÓN
Para el primer cono no creo que tengas dificultad, no obstante te lo comento rápidamente :
1 – Situar el vértice V1, el cual en proyección horizontal será a la vez el centro de la directriz, estando su proyección vertical sobre la línea de tierra.
2 – Con el radio dado dibujar una circunferencia en proyección horizontal y ya se tiene la proyección horizontal del primer cono.
3 – Llevar la medida del radio dado hacia ambos lados de la proyección vertical del centro (sobre la línea de tierra) y al unir esos extremos con el vértice V1 se consigue la proyección vertical del primer cono.
Para el segundo cono primero se dibuja primero el eje uniendo el vértice V2 con el punto del segundo eje de cota 4.
Para dejar bien determinado el segundo cono es necesario poner dibujar una directriz (una base).
Algunas de las formas más básicas (te las pongo en orden de dificultad o necesidad de mayores conocimientos) son :
PRIMERA FORMA, mediante abatimiento.
4 – Se elige un punto cualquiera del eje del segundo cono, al que llamaré C.
5 – Se dibuja un plano perpendicular al eje que pase por ese punto.
6 – Se abate el punto elegido, C, el cual será el centro de la circunferencia de la directriz que pasa por ese punto.
7 – El punto donde el eje del cono parece tocar a la traza horizontal del plano será el punto de contacto de dicha directriz con el plano horizontal. Luego, en el abatimiento se dibujará una circunferencia de centro C y radio hasta el punto descrito.
8 – Deshacer el abatimiento para obtener los puntos de la directriz
SEGUNDA FORMA, mediante cambio de plano.
9 – Se transforma el eje en una recta del tipo vertical mediante dos cambios de plano. En las dos últimas proyecciones el cono está situado en una posición igual a la del primer cono, es decir, con la directriz sobre el plano horizontal.
10 – En la penúltima proyección (primer cambio de plano) se elige un punto cualquiera sobre el eje, al que llamaré C.
11 – Por ese punto se hace una recta perpendicular al eje (directriz vista en posición horizontal) hasta que toque a la línea de tierra del primer cambio de plano.
12 – El punto donde toca a la línea de tierra es el punto de contacto de la directriz del cono sobre el plano horizontal de proyección.
13 – Luego, la distancia desde el centro C hasta ese punto es el radio de la directriz. En la última proyección (segundo cambio de plano), se dibujará una circunferencia con ese radio y ya se tiene la proyección horizontal cambiada de plano.
14 – Sobre la perpendicular al eje del primer cambio de plano se tiene la directriz.
15 – Basta con ir deshaciendo los cambios de plano de los puntos de la directriz.
TERCERA FORMA, mediante cambio de plano y sección rebatida.
16 – En realidad este es el procedimiento anterior ligeramente simplificado para que no ocupe tanto espacio. Solo se hace un cambio de plano que transforme el eje en una recta del tipo frontal mediante un único cambio de plano.
17 – En el primer cambio de plano se elige un punto cualquiera sobre el eje, al que llamaré C.
18 – Por ese punto se hace una recta perpendicular al eje (directriz vista en posición horizontal) hasta que toque a la línea de tierra del primer cambio de plano.
19 – El punto donde toca a la línea de tierra es el punto de contacto de la directriz del cono sobre el plano horizontal de proyección.
20 – Luego, la distancia desde el centro C hasta ese punto es el radio de la directriz. Sobre esa misma perpendicular se dibujará una circunferencia con ese radio y ya se tiene la sección rebatida. En realidad no es más que un segundo cambio de plano (como el de antes) pero con la línea de tierra tercera sobre la misma directriz y trabajando solo con la diferencia de alejamientos.
21 – Basta con ir deshaciendo el cambio de plano de los puntos de la directriz.
CUARTA FORMA, mediante giro.
22 – La intención es la misma que el método de cambio de plano, colocar el cono con el eje en posición vertical o de punta mediante dos cambios de plano.
QUINTA FORMA, mediante giro y sección rebatida.
23 – Los razonamientos son los mismos que los del método de cambio de plano y sección rebatida pero mediante un giro que convierta al eje en horizontal o frontal.
24 – La cuestión «Indicar los puntos de paso por los contornos aparentes, no la han expresado de una manera clara, pero lo que quieren decir, es que determines de forma exacta los puntos de contacto de las generatrices del contorno del cono en la directriz.
25 – Si tampoco te ha quedado claro te lo digo de otra forma. Cuando has hecho la directriz (una circunferencia en verdadera magnitud, pero una elipse en proyección) se hacen dos líneas que saliendo de su vértice V2 son tangentes a esa base, luego, se trata de hallar las tangentes a una elipse desde un punto y sus puntos de contacto (pero bien, nada de apoyar una regla donde cada uno quiera), pues esos dos puntos son los que te piden.
26 – Para determinarlos es necesario conocer algún elemento de la elipse. En este caso lo más fácil es determinar sus ejes principales, que te recuerdo. El eje mayor es paralelo a la traza del plano que lo contiene y mide lo el diámetro de la circunferencia en verdadera magnitud. El eje menor es perpendicular a la traza del plano y está en proyección.
27 – Una vez conseguidos los dos ejes principales pasa a determinar las tangentes a la elipse desde un punto exterior a ella por cualquiera de los procedimientos que conoces.
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intersecciones de cuerpos – 988
Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 987
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Completar la vista de alzado, de la planta industrial de una biela dada por la planta en corte parcial y por el corte AB.
SOLUCIÓN
Se trata de determinar dos curvas, una más sencilla que la otra.
La primera se consigue con una línea mixta paralela al contorno del alzado (línea verde clara), obtenida con solo subir el vértice de la planta desde el que ves salir una línea discontinua verde clara fina.
Para la segunda curva se debe hallar la intersección de un toro (en amarillo) con dos planos (las dos líneas verticales del contorno del perfil).
Las vistas de los toros en planta y perfil solo las he dibujado hasta su mitad para que no me ocupen tanto. En realidad, tampoco hace falta llegar a dibujarlo, solo lo he hecho para aclarar el cuerpo.
Para determinar la curva intersección (en verde oscuro) se han tomado unos planos de perfil (en cian) y se halla la intersección con el toro y los planos, lo que nos da una serie de puntos que unidos forman la curva buscada.
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 986
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 986
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Representar la planta de la pieza industrial dada por sus vistas de alzado y perfil izquierdo, determinando para ello todas las curvas de intersección con sus trazados correspondientes.
SOLUCIÓN
INTERSECCIÓN 1ª
1 – Se trata de la intersección de una esfera con un cilindro.
2 – Se toma un plano de perfil (línea vertical) que secciona a la esfera según una circunferencia en el perfil (en negra).
3 – Donde corte al cilindro (cruz naranja) es el punto intersección.
4 – Llevarlo a la planta tomando la medida X en el perfil.
INTERSECCIÓN 2ª
5 – Ahora se trata de la intersección de dos cilindros.
6 – Se toman planos horizontales (la línea negra horizontal) y se llevan al perfil.
7 – El punto de corte con la circunferencia exterior, en el perfil, es el punto buscado (cruz naranja).
8 – Mediante la distancia Y se lleva a la planta.
INTERSECCIÓN 3ª
9 – A continuación está la intersección de un cilindro con un plano
10 – Entre el eje del cilindro (cruz magenta) y la siguiente intersección se producen dos generatrices rectas (líneas verde claras de la planta)
INTERSECCIÓN 4ª
11 – Ahora tenemos la intersección de un toro (en cian) con un plano.
12 – Mediante planos de perfil (línea vertical negra) se halla la intersección en el toro (circunferencia negra).
13 – Donde corta al plano (línea verde discontinua) es el punto buscado.
14 – Mediante las distancias Z se llevan a la planta.
INTERSECCIÓN 5ª
15 – Otra vez tenemos un toro (verde claro) cortado por un plano.
16 – El proceso a seguir es el mismo del anterior.
RESULTADO FINAL
17 – De las dos últimas curvas solo se dejará hasta que una toque a la otra.
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Interseccion de cuerpos en diedrico resueltos – 985
Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 985
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Determine en el alzado, la planta y el perfil izquierdo las superficies dadas y su intersección.
SOLUCIÓN
MEDIANTE GENERATRICES.
1 – Elegir un punto cualquiera de la base del cono en la proyección vertical, punto A’, y unirlo con el vértice, V’. Esto forma una de las generatrices del cono.
2 – Llevar ese punto al perfil de la base del cono, punto A", y unirlo con su vértice, V".
3 – Tomar la medida Z en el perfil y llevarla a la planta. Esto nos sitúa el punto A en la planta. Unirlo con su vértice, V.
4 – En el alzado donde la generatriz, A’-V’, corta al cilindro, punto 1′, es uno de los puntos de la intersección buscada.
5 – Llevar el punto hasta sus generatrices en el perfil, punto 1", y la planta, punto 1.
6 – Repetir el mismo proceso con otras generatrices para obtener más puntos.
7 – Unir los puntos conseguidos mediante una curva (las líneas verdes).
MEDIANTE esferas.
8 – Con centro donde se cortan los ejes, punto O, en la planta se dibuja una esfera (la circunferencia negra).
9 – Donde corta a los contornos del cilindro, puntos B y C, se unen.
10 – Igualmente donde corte a los contornos del cono, puntos D y E, se unen.
11 – El punto de corte de estas uniones, punto 1, es un punto de la curva buscada.
12 – Subirlo al alzado hasta el contorno del cilindro, punto 1′.
13 – Medir el alejamiento W en la planta y llevarlo al perfil, hasta la misma cota que 1′ dando su proyección 1" en el perfil.
14 – Repetir con más esferas para obtener más puntos y unirlos entre sí.
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