Autor: Administrador

Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 984

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Determinar gráficamente la intersección exacta de los cilindros.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro O se dibuja la sección rebatida del cilindro superior (semicircunferencia azul).

2 – Dividir la sección rebatida en varias partes, tantas como puntos se quieran conseguir. En mi caso solo he tomado una, (A).
3 – Por cada división trazar una paralela al eje del cilindro. Estas son las generatrices (en magenta) del cilindro.
4 – Tomar la medida, z, que hay entre la sección rebatida y la sección recta (base) y llevarla al perfil. Mediante una paralela al eje se traza la generatriz correspondiente.
5 – Prolongar la generatriz del perfil, A", hasta cortar al cilindro (la circunferencia inferior). Este es un punto de la intersección, 1".
6 – Dibujar una horizontal desde ese punto 1" hasta cortar a la generatriz A’ del alzado. Esto nos da el punto de intersección 1′.
7 – Con la misma distancia z dibujar la generatriz en la planta, A.
8 – Llevar el punto de intersección 1′ desde el alzado hasta la generatriz de la planta, punto 1.
9 – Repetir con más generatrices y unir los puntos resultantes.

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Ejercicios de intersecciones de cuerpos – 983

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Hallar la intersección entre el cilindro oblicuo y la esfera dados.

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SOLUCIÓN

Primero un plano (en amarillo), donde corta al eje del cilindro se baja (en verde) y se tiene el centro de la sección cilíndrica de igual radio que la base (en rojo).

Se baja donde el plano corta al contorno de la esfera (en verde) y se dibuja la sección de la esfera (en cian). Donde se corten los dos (en magenta) son los puntos de la intersección.
Repetir con 6.328 planos más o menos.

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Hallar la intersección entre el cilindro recto de eje de punta y un cono recto de eje vertical.

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SOLUCIÓN

1 – Unir un punto de la base del cono, A, con con su vértice, V, en todas las proyecciones.

2 – Donde la generatriz, VA, corta al cilindro (en el alzado o proyección vertical) es uno de los puntos de la intersección, 1′.
3 – Llevarlo a la proyección horizontal, 1.
4 – Para llevarlo a la proyección de perfil, tomar el alejamiento (distancia Z) y llevarla al perfil, A». Uniéndolo con su vértice, V», se obtiene la generatriz. Llevar el punto 1′ a esa generatriz, 1″.
5 – Repetir con más generatrices para obtener más puntos de la curva y unirlos.

 

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intersecciones de cuerpos – 982

Ejercicios de intersecciones de una recta y un cuerpo – 999

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Dada la esfera de centro O1 (0, 7, 5) y radio 5 unidades, se pide:
1) Representar la esfera.
2) Representar otra esfera tangente a anterior, de radio 3 unidades y centro el punto O2 (-x, 4, 9).
3) Intersección que produce a las dos esferas la recta que une los centros de las mismas.

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SOLUCIÓN

– En primer lugar situas el centro O1 mediante sus coordenadas
– Después dibujas las circunferencias que representan la esfera.
– Trazas una recta r paralela a la LT de alejamiento 4 y cota 9 sobre la que estará el centro O2
– Con centro O1 trazas una esfera de radio 5+3.
– Donde la recta r corte con la esfera de radio 8 tienes los centros solución. Nos quedamos con el que está más a la izquierda.
– Para encontrar la intersección de r con la esfera de r=8, buscamos un plano frontal que contenga a la recta r. La intersección es la circunferencia roja.

Para encontrar la intersección de la recta que une los centros con las esferas:
– Encuentra el plano proyectante horizontal que contiene a la recta que pasa por los centros.
– Abate el plano y su intersección con las dos esferas.
– En el abatimiento encuentras los puntos A, B y T abatidos.
– Desabate los puntos sobre las proyecciones de la recta.

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Ejercicios de intersecciones de una recta y un cuerpo – 998

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Intersección de una recta con una esfera

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SOLUCIÓN

9 – Tenemos la esfera de centro c-c’ y la recta A-B

10 – Se hace un plano proyectante que contenga a la recta. Es decir, la proyección horizontal de AB es la traza horizontal del plano, p. La traza vertical del plano no es necesaria, aunque yo la haya dibujado.
11 – Se abate el centro de la circunferencia que produce la sección. Por el punto z (punto medio de XY) se hace una perpendicular a a’-b’ y se lleva la misma cota del centro c’
12 – Con ese centro, (Z), y diámetro XY se dibuja la sección abatida (circunferencia roja rellena de verde)
13 – Se abaten los puntos A y B, uniéndose se obtiene su abatimiento (A)-(B)
14 – Donde la recta abatida, (A)-(B), corte a la circunferencia, puntos (1) y (2), son los puntos de intersección de la esfera con la recta en el abatimiento
15 – Desabatir dichos puntos, mediante perpendiculares a la proyección horizontal de a-b, da las proyecciones horizontales 1 y 2
16 – Se suben a la proyección vertical de la recta, 1′ y 2′

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Dado el cilindro con base en el plano horizontal de proyección la circunferencia de centro O(4,4,0) y radio 2 cm con generatrices frontales formando 60º con el plano horizontal y subiendo hacia la derecha y la recta A(3,1,0) B(6,7,2).
Se pide determinar la intersección de la recta y el cilindro.

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SOLUCIÓN

INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN CILINDRO OBLICUO

1 – Por un punto de la recta A-B (en mi caso por B) se dibuja una recta, R, paralela al eje del cilindro

2 – Con esta nueva recta, R, y la dada, AB, se halla un plano, P (con la traza horizontal es suficiente)
3 – Se determina la intersección de este plano con el cilindro, que son dos generatrices (paralelas al eje) que parten de donde la traza horizontal del plano, p, corta a la base del cilindro
4 – Donde dichas generatrices corten a la recta, AB, son los puntos de intersección de la recta con el cilindro, 1 y 2
5 – Subir los puntos obtenidos hasta la proyección vertical de la recta

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Ejercicios de intersecciones de una recta y un cuerpo – 996

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Dado un cilindro recto y la recta AB se pide hallar la intersección de uno en el otro.

( Intersección de un cilindro recto apoyado en el plano horizontal con una recta oblicua )

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SOLUCIÓN

Donde la proyección horizontal de la recta corta a la proyección horizontal del cilindro (punto c) lo llevas a la proyección vertical ( c’ ), pero como verás ese punto está fuera del cilindro, por lo que la recta no lo intercepta en la superficie láteral.

Por ello te debes fijar en la base superior del cilindro en la proyección vertical (punto d’) y lo bajas a la proyección horizontal ( d ). Ese sí es el punto buscado.
La parte oculta será la que hay desde D hasta A (interior del cilindro) y desde D hasta B es la parte vista.

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Ejercicios de intersecciones de una recta y un cuerpo – 995

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– Un cubo tiene la cara ABCD horizontal, con A en (3, 1, -3) y C en (6, 1, 3). La cara opuesta está a más altura.
– Cortarlo con una recta que pasa por M(6, 4, -4) y por N(3, 2, 5).
– Trazar la geodésica que une los puntos de corte.

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SOLUCIÓN

La línea geodésica es el camino más corto entre dos puntos, recorrido sobre la superficie del cuerpo (no vale atravesarlo por su interior).

La forma más simple de hallarlo es dibujar su desarrollo y sobre él los puntos a unir.
Unidos en el desarrollo con una recta solo se necesita volver a llevar los puntos a las proyecciones.
Su solución es así :
1 – Construyes el cubo. Yo he supuesto que AC es una de las diagonales de cara. Como la cara es horizontal en proyección horizontal se verá como un cuadrado.

2 – Se dibujan las proyecciones de la recta MN
3 – La intersección de MN con el cubo es inmediata en la proyección horizontal, puntos WZ
4 – Se dibuja el desarrollo del cubo y sobre él se llevan los extremos de la recta, WZ, uniéndolos entre sí.

5 – Esta recta corta a las aristas del cubo, B2 y C3, en los puntos X e Y.
6 – Se llevan esos puntos X e Y a las proyecciones del cubo y se unen en el mismo orden, W-X-Y-Z. Esta es la geodésica.

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Ejercicios de intersecciones de una recta y un cuerpo – 994

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Intersección de una recta de perfil en un poliedro

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SOLUCIÓN

1 – Considerar la recta contenida en un plano de perfil. Es decir, las mismas proyecciones de la recta son las trazas del plano de perfil.
2 – Numerar los puntos donde las trazas del plano corten a las aristas
3 – Llevar esos puntos a la tercera proyección (plano de perfil o vista de perfil). No es necesario llevar todo el prisma es suficiente con esos puntos
4 – Llevar la recta dada a la proyección de perfil
5 – En la proyección de perfil, donde la recta corte a la sección del plano con el poliedro son los puntos de intersección de la recta en el prisma
6 – Determinar las proyecciones horizontal y vertical de esos puntos sobre la recta

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Ejercicios de intersecciones de una recta y un cuerpo – 993

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Un punto A (-3, 7, 0) es el vértice de un triángulo ABC situado todo él en el primer cuadrante, los vértices B y C están situados sobre la recta MN, M (-8, 6, 5), N (2, 12, 3), y los lados del triángulo AB y AC forman un ángulo de 45º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, desde a’, trazar líneas que formen 45º con la línea de tierra, y una paralela a la línea de tierra a una altura cualquiera, q’. Todo ello forma la proyección vertical de un cono

2 – Con centro en la proyección horizontal del punto A y diámetro la base del cono, q’, se traza una circunferencia. Esta es la base del cono
3 – Halle la intersección del plano formado por MN y A con el cono. Se puede hacer de varias formas. Yo he considerado un plano horizontal, q’, y la intersección de las rectas AN y MN con dicho plano (puntos X e Y). La unión de sendos puntos, X-Y, intercepta a la base del cono en 1 y 2 que unidos con el vértice del cono, a, nos da la intersección del plano A-MN con el cono
4 – Se determina la intersección de la recta MN con el cono. Esta será los puntos, B y C, donde 1-a y 2-a corten a MN

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