Hola a tod@s
Ahí va mi aporte a este problema que, básicamente, es el de Luisfe pero si aporta algo, pues mira qué bien.
Necesitamos conocer:
1. El lugar geométrico de los puntos P cuya razón de distancias a dos puntos fijos A, B es una constante k ≠ 1 es una circunferencia que se llama circunferencia de Apolonio. Este teorema se demuestra a partir del teorema de las bisectrices de un triángulo.
2. Dado un triángulo ABC la circunferencia de Apolonio de un lado, por ejemplo el AC, es una circunferencia de diámetro los puntos donde las bisectrices (interior y exterior) del tercer vértice B cortan al lado AC o a su prolongación.
3. Las tres circunferencias de Apolonio de un triángulo se cortan en dos puntos especiales que se llaman puntos isogonales y que tienen la propiedad de ser inversos en la inversión cuya circunferencia de puntos dobles es la circunferencia circunscrita al triángulo.
4. La inversión de centro uno de los puntos isogonales y circunferencia de puntos dobles cualquiera nos da como inversos de ABC los vértices de un triángulo equilátero.
PROCEDIMIENTO
Con los tres puntos no alineados formamos un triángulo ABC
Sobre dos de sus lados se levanta la circunferencia de Apolonio. Esas circunferecias se cortan en dos puntos que serán los puntos isodinámicos que buscamos
Para ello consideramos el lado AC y desde B trazamos sus bisectrices que cortan a la recta AC en los puntos M, N.
Trazamos la circunferencia c1 de diámetro MN.
Lo mismo para el lado BC y tenemos la circunferencia c2 de diámetro M1N1
Las dos circunferencias se cortan en dos puntos llamados puntos isodinámicos P1, P2
Tomando uno de los puntos isodinámicos P1 como centro de inversión y círculo de inversión (cpd) cualquiera tenemos que A'B'C' que son los inversos de ABC determinan un triángulo equilátero
Los mismo si tomamos P2 como centro de inversión y radio de inversión cualquiera.
Un saludo
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