La solución al caso de la circunferencia es trivial. En el punto, la perpendicular al radio que pasa por él. Por ejemplo, esta justificación analítica es generalizable al resto de cónicas.
Dada la circunferencia de ecuación (1) y el punto (2) de su interior, la recta que contiene el segmento tendrá de ecuación (3). De esta recta desconocemos su pendiente, pero la intersección con la circunferencia determina los puntos (4), tales que P es el punto medio, entonces (5), basta prestar atención a las relaciones resaltadas de rojo.
De la intersección de la circunferencia con la recta deducimos (6)
![Imagen](https://trazoide.com/figura33/imagen_perdida.gif)
No es necesario resolver la ecuación, conocido es que la suma de sus soluciones está determinada por los coeficientes resaltados, entonces (7), de donde (8), pendiente de la recta perpendicular al radio, que pasa por el punto P.
De la misma forma para las demás cónicas:
En la parábola (9), la pendiente es (10).
En las otras dos cónicas (11) y punto (12) procediendo de la misma forma resulta (13) para su ”traducción” a regla y compás pasamos a la forma (14) que en los gráficos anteriores de la elipse e hipérbola resultan (15).
Saludos