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En concreto hay dos cuestiones que son si el hexágono es regular y la segunda lo que quieres decir con "Tendrá un lado apoyado en la base y el opuesto está de tal manera que sus extremos tocan la base del triángulo." Imagino que has querido decir "Tendrá un lado apoyado en la base y el opuesto está de tal manera que sus extremos tocan
a los otros dos lados del triángulo".
Luego la solución que te doy es con esas dos condiciones, si no fuese así hazlo saber.
SOLUCIÓN :
1 - Con los datos de la base y la altura dibuja el triángulo isósceles (en rojo).
2 - Haz un hexágono a cualquier tamaño (el azul en discontinuo) y en cualquier posición. Yo lo he puesto centrado en el triángulo isósceles pero no es obligatorio que esté en esa posición.
3 - Dibuja paralelas a los lados del triángulo isósceles por dos de los vértices del hexágono (en magenta y discontinuo).
4 - Une uno de los vértices de ese nuevo triángulo con uno de los vértices del hexágono (en verde y discontinua).
5 - Dibuja una paralela a esa última línea por el vértice del triángulo dado (línea verde continua).
6 - Donde toque al triángulo inicial es uno de los vértices del hexágono buscado.
7 - Traza una paralela a la base y donde toque al otro lado ya tienes el segundo vértice, a partir de ahí por paralelas al hexágono primero consigues el buscado (en línea azul contigua).