Tangencia resuelta por Potencia y Homotecia
Publicado: Lun, 15 Sep 2008, 17:56
En el libro Arc 2 de la ed. Vicens Vives de los autores F.X Lacort i J Sala, aparece un ejercicio de “Circunferencia tangente a 2 circunferencias dadas y que pasa por un punto exterior”.
En su resolución se utiliza la Homotecia y también se utiliza el concepto de Potencia, se describen los pasos a seguir, pero no acabo de entender la motivación para realizar el paso 2º descrito a continuación.
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Adjunto la imagen del libro y una traducción del texto (el libro original está en catalán)
1.- Unimos los centros O’ y O” y prolongamos esta recta. Por el centro O’ trazamos un radio cualquiera y hacemos una paralela por el centro O”. Unimos los puntos donde estos radios han cortado las circunferencias y prolongando hasta cortar la recta que unía los centros, obtenemos el punto H, centro de homotecia respecto a las 2 circunferencias.
2.- Considerando A y B los puntos en que la recta que une los centros corta las circunferencias, hacemos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos A, B y P con centro en O1. El punto donde esta circunferencia corta la recta que une H y P es el punto P’, punto por el cual también pasa la circunferencia buscada.
3.- Convertimos así el problema en “Tangente a una circunferencia que pasa por dos puntos”.
4.- Encontramos el eje radical de la circunferencia auxiliar con la circunferencia O’ y, donde corta la recta que pasa por P y P’ , es el centro radical R. Desde este punto buscamos el punto de tangencia T con la circunferencia O’ y unimos el centro con el punto de tangencia, prolongando esta recta; el punto donde se corta con la mediatriz del segmento PP’ es el centro O de la circunferencia buscada.
5.- Al definir la potencia del punto H respecto a la circunferencia auxiliar podemos escribir que HA•HB=HP•HP’, y respecto a la circunferencia resultante que HP•HP’=HT•HT’; por tanto, la circunferencia auxiliar que pase por P, A y B contendrá , en su intersección con la recta PH, un punto P’ que también contendrá la circunferencia buscada.
¿Alguien me puede ayudar? Muchas gracias
En su resolución se utiliza la Homotecia y también se utiliza el concepto de Potencia, se describen los pasos a seguir, pero no acabo de entender la motivación para realizar el paso 2º descrito a continuación.
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1.- Unimos los centros O’ y O” y prolongamos esta recta. Por el centro O’ trazamos un radio cualquiera y hacemos una paralela por el centro O”. Unimos los puntos donde estos radios han cortado las circunferencias y prolongando hasta cortar la recta que unía los centros, obtenemos el punto H, centro de homotecia respecto a las 2 circunferencias.
2.- Considerando A y B los puntos en que la recta que une los centros corta las circunferencias, hacemos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos A, B y P con centro en O1. El punto donde esta circunferencia corta la recta que une H y P es el punto P’, punto por el cual también pasa la circunferencia buscada.
3.- Convertimos así el problema en “Tangente a una circunferencia que pasa por dos puntos”.
4.- Encontramos el eje radical de la circunferencia auxiliar con la circunferencia O’ y, donde corta la recta que pasa por P y P’ , es el centro radical R. Desde este punto buscamos el punto de tangencia T con la circunferencia O’ y unimos el centro con el punto de tangencia, prolongando esta recta; el punto donde se corta con la mediatriz del segmento PP’ es el centro O de la circunferencia buscada.
5.- Al definir la potencia del punto H respecto a la circunferencia auxiliar podemos escribir que HA•HB=HP•HP’, y respecto a la circunferencia resultante que HP•HP’=HT•HT’; por tanto, la circunferencia auxiliar que pase por P, A y B contendrá , en su intersección con la recta PH, un punto P’ que también contendrá la circunferencia buscada.
¿Alguien me puede ayudar? Muchas gracias